ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 97 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}y=-0,5x^2+2x+1\\ y=\frac{5}{x+1}\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}y=-\frac{6}{x}+1\\ y=x^2-2x-4\end{array}$$

а)

$$\{\begin{array}{l}y=-0,5x^2+2x+1\\ y=\frac{5}{x+1}\end{array}$$

$y=-0,5x^2+2x+1$ — уравнение параболы:

$$x_0=-\frac{2}{-0,5\cdot 2}=2\text{и}{y}_0=3$$

$y=\frac{5}{x+1}$ — уравнение гиперболы:

$$x_0=-1\text{и}{y}_0=0$$

Графики функций:

Ответ: $(1;2,5)$; $(4;1)$.

б)

$$\{\begin{array}{l}y=-\frac{6}{x}+1\\ y=x^2-2x-4\end{array}$$

$y=-\frac{6}{x}+1$ — уравнение гиперболы:

$$x_0=0\text{и}{y}_0=1$$

$y=x^2-2x-4$ — уравнение параболы:

$$x_0=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1\text{и}{y}_0=-5$$

Графики функций:

Ответ: $(-2;4)$; $(1;-5)$; $(3;-1)$.

а) $y=-0,5x^2+2x+1$ и $y=\frac{5}{x+1}$

Мы рассматриваем систему из двух функций: параболы и гиперболы. Нужно найти важные моменты, такие как уравнение асимптот, координаты вершины параболы, значения функций в ключевых точках, и, наконец, пересечение графиков этих функций.

1) Парабола $y=-0,5x^2+2x+1$

a) Вершина параболы:

Парабола в форме $y=a{x}^2+bx+c$, где $a=-0,5$, $b=2$ и $c=1$, имеет вершину, которая находится в точке $x_0=-\frac{b}{2a}$.

Подставляем значения $a$ и $b$:

$$x_0=-\frac{2}{2\cdot (-0,5)}=\frac{2}{1}=2.$$

Теперь найдем значение функции в этой точке. Подставляем $x_0=2$ в уравнение параболы:

$$y_0=-0,5(2{)}^2+2(2)+1=-0,5\cdot 4+4+1=-2+4+1=3.$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2,3)$.

b) Таблица значений функции $y=-0,5x^2+2x+1$:

Чтобы изучить поведение функции, вычислим значения функции для различных значений $x$.

Для $x=-2$:

$$y(-2)=-0,5(-2{)}^2+2(-2)+1=-0,5\cdot 4-4+1=-2-4+1=-5.$$

Для $x=0$:

$$y(0)=-0,5(0{)}^2+2(0)+1=1.$$

Для $x=4$:

$$y(4)=-0,5(4{)}^2+2(4)+1=-0,5\cdot 16+8+1=-8+8+1=1.$$

Для $x=6$:

$$y(6)=-0,5(6{)}^2+2(6)+1=-0,5\cdot 36+12+1=-18+12+1=-5.$$

Ответ: Вершина параболы — $(2,3)$.

2) Гипербола $y=\frac{5}{x+1}$

a) Асимптоты гиперболы:

График функции $y=\frac{5}{x+1}$ имеет две асимптоты:

• Вертикальная асимптота при $x=-1$, так как дробь стремится к бесконечности при $x\to -1$.
• Горизонтальная асимптота при $y=0$, так как $\frac{5}{x+1}\to 0$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

$$x=-1\text{и}y=0.$$

b) Таблица значений функции $y=\frac{5}{x+1}$:

Вычислим несколько значений функции на разных точках:

Для $x=-6$:

$$y(-6)=\frac{5}{-6+1}=\frac{5}{-5}=-1.$$

Для $x=-2$:

$$y(-2)=\frac{5}{-2+1}=\frac{5}{-1}=-5.$$

Для $x=0$:

$$y(0)=\frac{5}{0+1}=\frac{5}{1}=5.$$

Для $x=4$:

$$y(4)=\frac{5}{4+1}=\frac{5}{5}=1.$$

Ответ: Асимптоты гиперболы $x=-1$ и $y=0$.

3) Пересечение графиков функций:

Нам нужно найти точки пересечения графиков параболы и гиперболы. Для этого приравняем их уравнения:

$$-0,5x^2+2x+1=\frac{5}{x+1}\mathrm{.}$$

Умножим обе части на $(x+1)$, чтобы избавиться от дроби:

$$(x+1)(-0,5x^2+2x+1)=5.$$

Раскроем скобки:

$$-0,5x^3+2x^2+x-0,5x^2+2x+1=5.$$

Упростим:

$$-0,5x^3+1,5x^2+3x+1=5.$$

Переносим все на одну сторону:

$$-0,5x^3+1,5x^2+3x-4=0.$$

Это кубическое уравнение, которое можно решить численно или методом подбора. Предположим, что $x=1$ — это одно из решений, так как для $x=1$:

$$-0,5(1{)}^3+1,5(1{)}^2+3(1)-4=0.$$

Таким образом, $x=1$ — это одно из решений. Теперь подставим $x=1$ в исходные уравнения для вычисления $y$:

• Для параболы $y=-0,5(1{)}^2+2(1)+1=-0,5+2+1=2,5$.
• Для гиперболы $y=\frac{5}{1+1}=\frac{5}{2}=2,5$.

Таким образом, точка пересечения — $(1;2,5)$.

Теперь рассмотрим второе возможное решение для гиперболы и параболы. Подставим $x=4$ в оба уравнения:

• Для параболы $y=-0,5(4{)}^2+2(4)+1=-0,5\cdot 16+8+1=-8+8+1=1$.
• Для гиперболы $y=\frac{5}{4+1}=\frac{5}{5}=1$.

Таким образом, вторая точка пересечения — $(4;1)$.

Ответ: Точки пересечения: $(1;2,5)$ и $(4;1)$.

б) $y=-\frac{6}{x}+1$ и $y=x^2-2x-4$

1) Гипербола $y=-\frac{6}{x}+1$

a) Асимптоты гиперболы:

Гипербола $y=-\frac{6}{x}+1$ имеет:

• Вертикальную асимптоту при $x=0$,
• Горизонтальную асимптоту при $y=1$, так как $\frac{6}{x}\to 0$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

$$x=0\text{и}y=1.$$

b) Таблица значений функции $y=-\frac{6}{x}+1$:

2) Парабола $y=x^2-2x-4$

a) Вершина параболы:

Для параболы $y=x^2-2x-4$ находим вершину. Используем формулу для абсциссы вершины $x_0=-\frac{b}{2a}$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-4$:

$$x_0=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1.$$

Теперь найдем значение функции в точке $x_0=1$:

$$y_0=(1{)}^2-2(1)-4=1-2-4=-5.$$

Таким образом, вершина параболы — это точка $(1,-5)$.

b) Таблица значений функции $y=x^2-2x-4$:

3) Пересечение графиков функций:

Для нахождения точек пересечения приравняем уравнения:

$$-\frac{6}{x}+1=x^2-2x-4.$$

Умножим обе части на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$$-6+x=x^3-2x^2-4x\mathrm{.}$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^3-2x^2-5x+6=0.$$

Решим это уравнение методом подбора или численно. Получаем решения: $x=-2$, $x=1$, $x=3$.

Подставим найденные значения $x$ в уравнения для нахождения $y$:

Для $x=-2$:

$$y=(-2{)}^2-2(-2)-4=4+4-4=4.$$

Для $x=1$:

$$y=(1{)}^2-2(1)-4=1-2-4=-5.$$

Для $x=3$:

$$y=(3{)}^2-2(3)-4=9-6-4=-1.$$

Ответ: Точки пересечения: $(-2,4)$, $(1,-5)$, $(3,-1)$.

Итоговый ответ:

а) Точки пересечения: $(1;2,5)$, $(4;1)$.

б) Точки пересечения: $(-2;4)$, $(1;-5)$, $(3;-1)$.