ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = x^2$ и $a = 3$;

б) $f(x) = 2 — x — x^3$ и $a = 0$;

в) $f(x) = x^3$ и $a = 1$;

г) $f(x) = x^2 — 3x + 5$ и $a = -1$

Уравнение касательной имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где $a$ — абсцисса точки касания;

а) $f(x) = x^2$ и $a = 3$;

$$f(a) = 3^2 = 9;$$ $$f'(a) = (x^2)’ = 2x = 2 \cdot 3 = 6;$$ $$y = 9 + 6(x — 3) = 9 + 6x — 18 = 6x — 9;$$

Ответ: $y = 6x — 9$.

б) $f(x) = 2 — x — x^3$ и $a = 0$;

$$f(a) = 2 — 0 — 0^3 = 2;$$ $$f'(a) = (2 — x)’ — (x^3)’ = -1 — 3x^2 = -1 — 3 \cdot 0^2 = -1;$$ $$y = 2 — 1(x — 0) = 2 — x;$$

Ответ: $y = 2 — x$.

в) $f(x) = x^3$ и $a = 1$;

$$f(a) = 1^3 = 1;$$ $$f'(a) = (x^3)’ = 3x^2 = 3 \cdot 1^2 = 3;$$ $$y = 1 + 3(x — 1) = 1 + 3x — 3 = 3x — 2;$$

Ответ: $y = 3x — 2$.

г) $f(x) = x^2 — 3x + 5$ и $a = -1$;

$$f(a) = (-1)^2 — 3 \cdot (-1) + 5 = 1 + 3 + 5 = 9;$$ $$f'(a) = (x^2)’ — (3x — 5)’ = 2x — 3 = 2 \cdot (-1) — 3 = -2 — 3 = -5;$$ $$y = 9 — 5(x + 1) = 9 — 5x — 5 = 4 — 5x;$$

Ответ: $y = 4 — 5x$.

Формула касательной

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x = a$ задаётся по формуле:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

где:

• $f(a)$ — значение функции в точке касания;
• $f'(a)$ — значение производной функции (т.е. угловой коэффициент касательной) в точке $a$;
• $x$ — переменная.

а) $f(x) = x^2$, $a = 3$

1. Найдём значение функции в точке $a = 3$:

$$f(3) = (3)^2 = 9$$

2. Найдём производную:

$$f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$$

Подставляем $x = 3$:

$$f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$$

3. Подставим в формулу касательной:

$$y = f(3) + f'(3)(x — 3) = 9 + 6(x — 3)$$

Раскроем скобки:

$$y = 9 + 6x — 18 = 6x — 9$$

Ответ: $\boxed{y = 6x — 9}$

б) $f(x) = 2 — x — x^3$, $a = 0$

1. Вычислим значение функции при $x = 0$:

$$f(0) = 2 — 0 — 0^3 = 2$$

2. Найдём производную:

$$f(x) = 2 — x — x^3 \Rightarrow f'(x) = (2)’ — (x)’ — (x^3)’ = 0 — 1 — 3x^2 = -1 — 3x^2$$

Подставим $x = 0$:

$$f'(0) = -1 — 3 \cdot 0^2 = -1$$

3. Уравнение касательной:

$$y = f(0) + f'(0)(x — 0) = 2 — 1(x) = 2 — x$$

Ответ: $\boxed{y = 2 — x}$

в) $f(x) = x^3$, $a = 1$

1. Значение функции при $x = 1$:

$$f(1) = 1^3 = 1$$

2. Производная функции:

$$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$$

Подставим $x = 1$:

$$f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$$

3. Уравнение касательной:

$$y = 1 + 3(x — 1) \Rightarrow y = 1 + 3x — 3 = 3x — 2$$

Ответ: $\boxed{y = 3x — 2}$

г) $f(x) = x^2 — 3x + 5$, $a = -1$

1. Вычислим $f(-1)$:

$$f(-1) = (-1)^2 — 3 \cdot (-1) + 5 = 1 + 3 + 5 = 9$$

2. Найдём производную:

$$f(x)=x^2-3x+5\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(3x{)}^{\mathrm{\prime }}+(5{)}^{\mathrm{\prime }}=$$

$$f(x) = x^2 — 3x + 5 \Rightarrow f'(x) = (x^2)’ — (3x)’ + (5)’ = 2x — 3 + 0 = 2x — 3$$

Подставим $x = -1$:

$$f'(-1) = 2 \cdot (-1) — 3 = -2 — 3 = -5$$

3. Уравнение касательной:

$$y = f(-1) + f'(-1)(x — (-1)) = 9 — 5(x + 1)$$

Раскроем скобки:

$$y = 9 — 5x — 5 = 4 — 5x$$

Ответ: $\boxed{y = 4 — 5x}$