ГДЗ по Алгебре 7 Класс Дополнительная задача 1 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все решения ребусов (в каждом ребусе одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры):

а) \( AA^{Б} = АББА \)
б) \( ИКС = X^{X} \)
в) \( ЗЕТ = З^{Т} + Е^{Т} + Т^{Т} \)
г) \( Я^{С} = СЕМЬЯ \)

а) \( AA^Б = АБА \).

Двузначное число, записанное одинаковыми цифрами, возвели в степень и получили четырёхзначное число.
Если возвести числа 22, 33, …, 99 во вторую или третью степени, то условие не выполнится.

Проверим число 11. Возводем его в третью степень:
\( 11^3 = 1331 \) → верно.
Ответ: \( A = 1,\; Б = 3 \).

б) \( ИКС = X^X \).

Однозначное число возвели в степень, причем степень равна самому числу, и получили трёхзначное число.
Методом перебора находим, что это было число 4 в четвёртой степени:
\( 4^4 = 256 \).
Ответ: \( X = 4,\; И = 2,\; К = 5,\; С = 6 \).

в) \( ЗЕТ = 3^Т + Е^Т + Т^Т \).

Методом перебора находим, что:
\( 153 = 1^3 + 5^3 + 3^3 = 1 + 125 + 27 \).
Ответ: \( З = 1,\; Е = 5,\; Т = 3 \).

г) \( Я^С = СЕМЬЯ \).

Методом перебора находим, что число 5 возвели в 7 степень:
\( 5^7 = 78\,125 \).
Ответ: \( Я = 5,\; С = 7,\; Е = 8,\; М = 1,\; Ь = 2 \).

а) \( AA^{Б} = АБА \)

Здесь \( AA \) — двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами (например, 11, 22, …, 99), возведённое в степень \( Б \), и результат — трёхзначное число вида \( АБА \) (первая и последняя цифры совпадают и равны \( A \), средняя — \( Б \)).

Проверим возможные значения.
Если \( AA = 22 \) или больше, то даже при возведении в квадрат получаем:
\( 22^2 = 484 \), \( 33^2 = 1089 \) — уже четырёхзначное число.
Более высокие степени дают ещё большие значения.

Остаётся рассмотреть \( AA = 11 \).
Попробуем возвести в различные степени:
\( 11^2 = 121 \) — похоже, но не подходит, так как средняя цифра 2, а степень тогда должна быть \( Б = 2 \), но тогда получаем \( АБА = 121 \), что формально верно. Однако в ответе требуется, чтобы степень тоже была цифрой \( Б \), и получаем конфликт: \( 11^2 = 121 \) → \( A=1, Б=2 \), но в записи степени стоит \( Б=2 \), а в условии степень — именно \( Б \), то есть это допустимо. Однако далее в оригинальном решении рассматривается третья степень.

Проверим \( 11^3 = 1331 \) — четырёхзначное число, а по условию результат должен быть трёхзначным.
Но если внимательно посмотреть: в условии написано \( АБА \) — трёхзначное, значит, \( 11^3 = 1331 \) не подходит по количеству цифр.

Однако, судя по приведённому решению, возможно, в оригинале задача предполагает **четырёхзначный результат** вида \( АББА \) (а не \( АБА \)), или допущена опечатка. Тем не менее, автор решения принимает \( 11^3 = 1331 \) как корректный ответ и интерпретирует его как \( А=1,\; Б=3 \), что соответствует структуре \( 1\,3\,3\,1 \).

Примем это как данность в рамках предложенного решения.

**Ответ:** \( A = 1,\; Б = 3 \).

—

б) \( ИКС = X^X \)

Требуется найти однозначное натуральное число \( X \), такое что \( X^X \) — трёхзначное число, и его цифры обозначены буквами \( И, К, С \).

Перебираем возможные \( X \) от 1 до 9:

\[
\begin{aligned}
1^1 &= 1 \quad (\text{однозначное}) \\
2^2 &= 4 \quad (\text{однозначное}) \\
3^3 &= 27 \quad (\text{двузначное}) \\
4^4 &= 256 \quad (\text{трёхзначное}) \\
5^5 &= 3125 \quad (\text{четырёхзначное}) \\
\end{aligned}
\]

Для \( X \geq 5 \) результат уже превышает 999.
Единственный подходящий вариант — \( X = 4 \), так как \( 4^4 = 256 \).

Сопоставляем: \( И = 2,\; К = 5,\; С = 6 \).

**Ответ:** \( X = 4,\; И = 2,\; К = 5,\; С = 6 \).

—

в) \( ЗЕТ = 3^Т + Е^Т + Т^Т \)

Ищем трёхзначное число \( ЗЕТ \), которое можно представить как сумму степеней его собственных цифр (с показателем, равным последней цифре — \( Т \)).

Это напоминает числа Армстронга (самовлюблённые числа). Известно, что 153 — такое число:

\[
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3 = 1 + 125 + 27 = 153.
\]

Следовательно, \( З = 1,\; Е = 5,\; Т = 3 \).

**Ответ:** \( З = 1,\; Е = 5,\; Т = 3 \).

—

г) \( Я^С = СЕМЬЯ \)

Требуется найти такие цифры \( Я \) и \( С \), чтобы при возведении однозначного числа \( Я \) в степень \( С \) получилось **пятизначное** число, запись которого — слово «СЕМЬЯ» (разные буквы — разные цифры, первая цифра \( С \ne 0 \)).

Методом перебора проверяем небольшие основания и степени:

— \( 5^7 = 78\,125 \) — пятизначное число.
— Запись: \( С = 7,\; Е = 8,\; М = 1,\; Ь = 2,\; Я = 5 \).

Все цифры различны, и последняя цифра результата совпадает с основанием степени (\( Я = 5 \)), что соответствует обозначению «СЕМЬ**Я**».

**Ответ:** \( Я = 5,\; С = 7,\; Е = 8,\; М = 1,\; Ь = 2 \).