ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 1 Мордкович — Подробные Ответы

1)
а) \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\) — слишком много;
пробуем: \( -1 + 2 + 3 + 4 = 8\)

\[
-1 + 2 + 3 + 4 = 8
\]

б) \(1 — 2 — 3 + 4 = 0\)

\[
1 — 2 — 3 + 4 = 0
\]

в) \(-1 — 2 — 3 + 4 = -2\) — не подходит;
пробуем: \(1 — 2 — 3 — 4 = -8\);
\( -1 + 2 — 3 — 4 = -6\);
\(1 + 2 — 3 — 4 = -4\)

\[
1 + 2 — 3 — 4 = -4
\]

2)
Все возможные суммы имеют вид \(\pm1 \pm 2 \pm 3 \pm 4\).
Максимум: \(1+2+3+4 = 10\), минимум: \(-1-2-3-4 = -10\).
Все такие суммы — чётные, так как \(1+2+3+4 = 10\) — чётно, а изменение знака у любого числа меняет сумму на чётное число (например, замена \(+2\) на \(-2\) уменьшает сумму на 4).
Следовательно, возможны только чётные значения.

\[
7 \text{ и } -3 \text{ — нечётные} \Rightarrow \text{недостижимы.}
\]

Рассмотрим выражение, составленное из цифр 1, 2, 3, 4, между которыми можно ставить знаки «+» или «–», а также можно поставить знак «+» или «–» перед первой цифрой (единицей).
Таким образом, любое полученное выражение имеет вид:

\[
\pm 1 \pm 2 \pm 3 \pm 4
\]

Всего возможных комбинаций знаков: \(2^4 = 16\), так как у каждой из четырёх цифр есть два варианта знака.

Наша цель — подобрать такие знаки, чтобы получить заданные значения, а затем доказать невозможность получения других.

Часть 1. Подбор выражений

а) Получить значение 8

Максимально возможное значение достигается, когда все знаки «+»:

\[
+1 + 2 + 3 + 4 = 10
\]

Чтобы получить 8, нужно уменьшить сумму на \(10 — 8 = 2\).
Если перед каким-то числом поставить «–» вместо «+», сумма уменьшится на удвоенное значение этого числа (потому что мы не просто не прибавляем его, а вычитаем).

Например, если вместо \(+2\) написать \(-2\), сумма уменьшится на \(2 \cdot 2 = 4\).

Нам нужно уменьшение на 2, но все числа — целые, и удвоенное значение любого из них — чётное число (2, 4, 6, 8). Уменьшение на 2 возможно только если перед 1 поставить «–», потому что:

\[
-1 + 2 + 3 + 4 = 8
\]

Проверим:

\[
-1 + 2 = 1,\quad 1 + 3 = 4,\quad 4 + 4 = 8
\]

Верно.

\[
-1 + 2 + 3 + 4 = 8
\]

б) Получить значение 0

Попробуем подобрать комбинацию. Например:

\[
1 — 2 — 3 + 4 = (1 + 4) — (2 + 3) = 5 — 5 = 0
\]

Проверим по шагам:

\[
1 — 2 = -1
\]

\[
-1 — 3 = -4
\]

\[
-4 + 4 = 0
\]

Верно.

\[
1 — 2 — 3 + 4 = 0
\]

в) Получить значение –4

Попробуем:

\[
-1 — 2 — 3 + 4 = (-1 — 2 — 3) + 4 = -6 + 4 = -2 \quad \text{— не подходит}
\]

Другой вариант:

\[
1 — 2 + 3 — 4 = (1 + 3) — (2 + 4) = 4 — 6 = -2 \quad \text{— тоже нет}
\]

Попробуем:

\[
-1 + 2 — 3 — 4 = (-1 — 3 — 4) + 2 = -8 + 2 = -6
\]

Ещё вариант:

\[
1 + 2 — 3 — 4 = 3 — 7 = -4
\]

Проверим:

\[
1 + 2 = 3
\]

\[
3 — 3 = 0
\]

\[
0 — 4 = -4
\]

Верно.

\[
1 + 2 — 3 — 4 = -4
\]

Часть 2. Доказательство невозможности

Рассмотрим общую форму выражения:

\[
S = \pm 1 \pm 2 \pm 3 \pm 4
\]

Обозначим сумму всех чисел: \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\).
Пусть \(T\) — сумма тех чисел, перед которыми стоит знак «–». Тогда значение выражения:

\[
S = (10 — T) — T = 10 — 2T
\]

То есть любое возможное значение выражения имеет вид \(10 — 2T\), где \(T\) — сумма некоторого подмножества множества \(\{1, 2, 3, 4\}\).

Следовательно, все возможные значения — чётные числа, так как \(2T\) — чётно, и \(10 — \text{чётное}\) — тоже чётное.

Теперь рассмотрим требуемые значения:

— 7 — нечётное число → не может быть получено;
— –3 — нечётное число → не может быть получено.

Это уже достаточное доказательство.

Но для полноты проверим, какие значения вообще возможны.

Все подмножества и соответствующие \(T\) и \(S = 10 — 2T\):

— \(T = 0\) → \(S = 10\)
— \(T = 1\) → \(S = 8\)
— \(T = 2\) → \(S = 6\)
— \(T = 3\) → \(S = 4\)
— \(T = 4\) → \(S = 2\)
— \(T = 1+2=3\) → уже есть
— \(T = 1+3=4\) → уже есть
— \(T = 1+4=5\) → \(S = 0\)
— \(T = 2+3=5\) → \(S = 0\)
— \(T = 2+4=6\) → \(S = -2\)
— \(T = 3+4=7\) → \(S = -4\)
— \(T = 1+2+3=6\) → \(S = -2\)
— \(T = 1+2+4=7\) → \(S = -4\)
— \(T = 1+3+4=8\) → \(S = -6\)
— \(T = 2+3+4=9\) → \(S = -8\)
— \(T = 1+2+3+4=10\) → \(S = -10\)

Возможные значения \(S\):
\[
10,\ 8,\ 6,\ 4,\ 2,\ 0,\ -2,\ -4,\ -6,\ -8,\ -10
\]

Видим, что 7 и –3 отсутствуют, и оба — нечётные, что подтверждает вывод.

Ответ:

1. Примеры выражений:
а) \(-1 + 2 + 3 + 4 = 8\)
б) \(1 — 2 — 3 + 4 = 0\)
в) \(1 + 2 — 3 — 4 = -4\)

2. Значение выражения всегда имеет вид \(10 — 2T\), где \(T\) — целое число, следовательно, всегда чётно.
Числа 7 и –3 — нечётные, поэтому не могут быть получены.