Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 10 Мордкович — Подробные Ответы
а) \( 2^n \cdot 2^k = 128 \)
г) \( (5^n)^k = 25^3 \)
б) \( 3^n \cdot 9^k = 243 \)
д) \( (10^n)^k = 1{,}000{,}000 \)
в) \( 16^n \cdot 4^k = 1024 \)
е) \( 2^n (2^{n+1})^{k+1} = 256 \)
а) \( 2^n \cdot 2^k = 128 \)
\[
2^{n+k} = 2^7
\]
\[
n + k = 7
\]
Натуральные решения (n ≥ 1, k ≥ 1): (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
Ответ: 6 решений.
г) \( (5^n)^k = 25^3 \)
\[
5^{n \cdot k} = (5^2)^3
\]
\[
5^{nk} = 5^6
\]
\[
n \cdot k = 6
\]
Натуральные решения: (1,6), (2,3), (3,2), (6,1).
Ответ: 4 решения.
б) \( 3^n \cdot 9^k = 243 \)
\[
3^n \cdot (3^2)^k = 3^5
\]
\[
3^{n + 2k} = 3^5
\]
\[
n + 2k = 5
\]
Натуральные решения: (1,2), (3,1).
Ответ: 2 решения.
д) \( (10^n)^k = 1{,}000{,}000 \)
\[
10^{n \cdot k} = 10^6
\]
\[
n \cdot k = 6
\]
Натуральные решения: (1,6), (2,3), (3,2), (6,1).
Ответ: 4 решения.
в) \( 16^n \cdot 4^k = 1024 \)
\[
(2^4)^n \cdot (2^2)^k = 2^{10}
\]
\[
2^{4n + 2k} = 2^{10}
\]
\[
4n + 2k = 10
\]
\[
2n + k = 5
\]
Натуральные решения: (1,3), (2,1).
Ответ: 2 решения.
е) \( 2^n (2^{n+1})^{k+1} = 256 \)
\[
2^n \cdot 2^{(n+1)(k+1)} = 2^8
\]
\[
2^{n + (n+1)(k+1)} = 2^8
\]
\[
n + (n+1)(k+1) = 8
\]
\[
n + nk + n + k + 1 = 8
\]
\[
nk + 2n + k = 7
\]
\[
k(n+1) + 2n = 7
\]
Подбор натуральных решений:
— При n=1: \( k(2) + 2 = 7 \) → \( 2k = 5 \) → k=2.5 (не натуральное)
— При n=2: \( k(3) + 4 = 7 \) → \( 3k = 3 \) → k=1
— При n=3: \( k(4) + 6 = 7 \) → \( 4k = 1 \) → k=0.25 (не натуральное)
Ответ: 1 решение (n=2, k=1).
а) \( 2^n \cdot 2^k = 128 \)
\[
2^{n+k} = 128
\]
\[
2^{n+k} = 2^7
\]
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
\[
n + k = 7
\]
Натуральные решения (n ≥ 1, k ≥ 1): (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
Ответ: 6 решений.
г) \( (5^n)^k = 25^3 \)
\[
(5^n)^k = (5^2)^3
\]
\[
5^{n \cdot k} = 5^6
\]
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
\[
n \cdot k = 6
\]
Натуральные решения: (1,6), (2,3), (3,2), (6,1).
Ответ: 4 решения.
б) \( 3^n \cdot 9^k = 243 \)
\[
3^n \cdot (3^2)^k = 3^5
\]
\[
3^n \cdot 3^{2k} = 3^5
\]
\[
3^{n + 2k} = 3^5
\]
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
\[
n + 2k = 5
\]
Натуральные решения: (1,2), (3,1).
Ответ: 2 решения.
д) \( (10^n)^k = 1{,}000{,}000 \)
\[
(10^n)^k = 10^6
\]
\[
10^{n \cdot k} = 10^6
\]
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
\[
n \cdot k = 6
\]
Натуральные решения: (1,6), (2,3), (3,2), (6,1).
Ответ: 4 решения.
в) \( 16^n \cdot 4^k = 1024 \)
\[
(2^4)^n \cdot (2^2)^k = 2^{10}
\]
\[
2^{4n} \cdot 2^{2k} = 2^{10}
\]
\[
2^{4n + 2k} = 2^{10}
\]
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
\[
4n + 2k = 10
\]
\[
2(2n + k) = 10
\]
\[
2n + k = 5
\]
Натуральные решения: (1,3), (2,1).
Ответ: 2 решения.
е) \( 2^n (2^{n+1})^{k+1} = 256 \)
\[
2^n \cdot 2^{(n+1)(k+1)} = 256
\]
\[
2^{n + (n+1)(k+1)} = 2^8
\]
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
\[
n + (n+1)(k+1) = 8
\]
Раскрываем скобки:
\[
n + (n+1)k + (n+1) = 8
\]
\[
n + nk + k + n + 1 = 8
\]
\[
nk + 2n + k + 1 = 8
\]
\[
nk + 2n + k = 7
\]
Факторизуем, группируя слагаемые:
\[
k(n + 1) + 2n = 7
\]
Подбор натуральных решений (n ≥ 1, k ≥ 1):
При n = 1:
\[
k(1+1) + 2*1 = 7
\]
\[
2k + 2 = 7
\]
\[
2k = 5
\]
\[
k = 2.5 \quad \text{(не натуральное)}
\]
При n = 2:
\[
k(2+1) + 2*2 = 7
\]
\[
3k + 4 = 7
\]
\[
3k = 3
\]
\[
k = 1 \quad \text{(натуральное)}
\]
При n = 3:
\[
k(3+1) + 2*3 = 7
\]
\[
4k + 6 = 7
\]
\[
4k = 1
\]
\[
k = 0.25 \quad \text{(не натуральное)}
\]
Ответ: 1 решение (n=2, k=1).
