ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 11 Мордкович — Подробные Ответы

\[
\begin{array}{l}
\text{Найдите наибольшее натуральное значение } n, \text{ при котором число } 2^{n} \text{ будет:} \\
\text{а) однозначным;} \quad \text{г) меньше } 500; \\
\text{б) меньше } 59; \quad \text{д) трёхзначным;} \\
\text{в) двузначным;} \quad \text{е) меньше } 2025.
\end{array}
\]

а) однозначным
Однозначные числа: от 1 до 9.
\[
2^n \leq 9
\]

\[
2^3 = 8 \leq 9,\quad 2^4 = 16 > 9
\]
Ответ: \( n = 3 \)

б) меньше 59
\[
2^n < 59
\]

\[
2^5 = 32 < 59,\quad 2^6 = 64 > 59
\]
Ответ: \( n = 5 \)

в) двузначным
Двузначные числа: от 10 до 99.
\[
10 \leq 2^n \leq 99
\]

\[
2^3 = 8 < 10,\quad 2^4 = 16,\quad 2^5 = 32,\quad 2^6 = 64,\quad 2^7 = 128 > 99
\]
Ответ: \( n = 6 \)

г) меньше 500
\[
2^n < 500
\]

\[
2^8 = 256 < 500,\quad 2^9 = 512 > 500
\]
Ответ: \( n = 8 \)

д) трёхзначным
Трехзначные числа: от 100 до 999.
\[
100 \leq 2^n \leq 999
\]

\[
2^6 = 64 < 100,\quad 2^7 = 128,\quad 2^8 = 256,\quad 2^9 = 512,\quad 2^{10} = 1024 > 999
\]

Ответ: \( n = 9 \)

е) меньше 2025
\[
2^n < 2025
\]

\[
2^{10} = 1024 < 2025,\quad 2^{11} = 2048 > 2025
\]

Ответ: \( n = 10 \)

а) Наибольшее натуральное \( n \), при котором \( 2^n \) будет однозначным

Однозначные числа — это числа от 1 до 9. Нам нужно найти наибольшую степень двойки, которая попадает в этот промежуток.

\[
2^1 = 2 \quad \text{(однозначное)}
\]

\[
2^2 = 4 \quad \text{(однозначное)}
\]

\[
2^3 = 8 \quad \text{(однозначное)}
\]

\[
2^4 = 16 \quad \text{(двузначное, больше 9)}
\]

Степень \( 2^3 = 8 \) является однозначным числом, а следующая степень \( 2^4 = 16 \) уже выходит за пределы однозначных чисел.

Ответ: \( n = 3 \)

б) Наибольшее натуральное \( n \), при котором \( 2^n \) будет меньше 59

Нам нужно найти наибольшую степень двойки, которая строго меньше 59.

\[
2^5 = 32 \quad \text{(32 < 59)}
\]

\[
2^6 = 64 \quad \text{(64 > 59)}
\]

Степень \( 2^5 = 32 \) удовлетворяет условию, а следующая степень \( 2^6 = 64 \) уже больше 59.

Ответ: \( n = 5 \)

в) Наибольшее натуральное \( n \), при котором \( 2^n \) будет двузначным

Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Нам нужно, чтобы значение \( 2^n \) находилось в этом интервале.

\[
2^3 = 8 \quad \text{(однозначное, меньше 10)}
\]

\[
2^4 = 16 \quad \text{(двузначное)}
\]

\[
2^5 = 32 \quad \text{(двузначное)}
\]

\[
2^6 = 64 \quad \text{(двузначное)}
\]

\[
2^7 = 128 \quad \text{(трехзначное, больше 99)}
\]

Степени \( 2^4, 2^5, 2^6 \) являются двузначными числами. Наибольшая из них — \( 2^6 = 64 \).

Ответ: \( n = 6 \)

г) Наибольшее натуральное \( n \), при котором \( 2^n \) будет меньше 500

Нам нужно найти наибольшую степень двойки, которая строго меньше 500.

\[
2^8 = 256 \quad \text{(256 < 500)}
\]

\[
2^9 = 512 \quad \text{(512 > 500)}
\]

Степень \( 2^8 = 256 \) удовлетворяет условию, а следующая степень \( 2^9 = 512 \) уже больше 500.

Ответ: \( n = 8 \)

д) Наибольшее натуральное \( n \), при котором \( 2^n \) будет трёхзначным

Трехзначные числа — это числа от 100 до 999. Нам нужно, чтобы значение \( 2^n \) находилось в этом интервале.

\[
2^6 = 64 \quad \text{(двузначное, меньше 100)}
\]

\[
2^7 = 128 \quad \text{(трехзначное)}
\]

\[
2^8 = 256 \quad \text{(трехзначное)}
\]

\[
2^9 = 512 \quad \text{(трехзначное)}
\]

\[
2^{10} = 1024 \quad \text{(четырехзначное, больше 999)}
\]

Степени \( 2^7, 2^8, 2^9 \) являются трехзначными числами. Наибольшая из них — \( 2^9 = 512 \).

Ответ: \( n = 9 \)

е) Наибольшее натуральное \( n \), при котором \( 2^n \) будет меньше 2025

Нам нужно найти наибольшую степень двойки, которая строго меньше 2025.

\[
2^{10} = 1024 \quad \text{(1024 < 2025)}
\]

\[
2^{11} = 2048 \quad \text{(2048 > 2025)}
\]

Степень \( 2^{10} = 1024 \) удовлетворяет условию, а следующая степень \( 2^{11} = 2048 \) уже больше 2025.

Ответ: \( n = 10 \)