Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 12 Мордкович — Подробные Ответы
Найдите наименьшее натуральное число \(n\), при котором \(0,5^n\) будет меньше:
а) \(\frac{1}{2}\);
б) \(\frac{1}{7}\);
в) \(\frac{2}{17}\);
г) \(\frac{3}{97}\);
д) 0,01;
е) 0,001.
а) \( 0{,}5^n < \frac{1}{2} \)
\[
\frac{1}{2^n} < \frac{1}{2} \Rightarrow 2^n > 2 \Rightarrow n > 1
\]
Наименьшее \( n = 2 \).
б)\( 0{,}5^n < \frac{1}{7} \)
\[
\frac{1}{2^n} < \frac{1}{7} \Rightarrow 2^n > 7
\]
\( 2^2 = 4 < 7 \), \( 2^3 = 8 > 7 \) ⇒ \( n = 3 \).
в) \( 0{,}5^n < \frac{2}{17} \)
\[
\frac{1}{2^n} < \frac{2}{17} \Rightarrow 17 < 2^{n+1}
\]
\( 2^4 = 16 < 17 \), \( 2^5 = 32 > 17 \) ⇒ \( n+1=5 \), \( n=4 \).
г) \( 0{,}5^n < \frac{3}{97} \)
\[
\frac{1}{2^n} < \frac{3}{97} \Rightarrow 97 < 3 \cdot 2^n \Rightarrow 2^n > \frac{97}{3} \approx 32{,}33
\]
\( 2^5=32 < 32{,}33 \), \( 2^6=64 > 32{,}33 \) ⇒ \( n=6 \).
д) \( 0{,}5^n < 0{,}01 \)
\[
0{,}01 = \frac{1}{100} \Rightarrow 2^n > 100
\]
\( 2^6=64 < 100 \), \( 2^7=128 > 100 \) ⇒ \( n=7 \).
е) \( 0{,}5^n < 0{,}001 \)
\[
0{,}001 = \frac{1}{1000} \Rightarrow 2^n > 1000
\]
\( 2^9=512 < 1000 \), \( 2^{10}=1024 > 1000 \) ⇒ \( n=10 \).
Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) 6; д) 7; е) 10.
Напомним, что \( 0{,}5 = \frac{1}{2} \), следовательно, \( 0{,}5^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n} \).
а) \( 0{,}5^n < \frac{1}{2} \)
\[
\frac{1}{2^n} < \frac{1}{2}
\]
Данное неравенство равносильно следующему (при условии, что дроби положительны, мы можем «перевернуть» их, изменив знак неравенства):
\[
2^n > 2
\]
\[
2^n > 2^1
\]
Поскольку основание степени больше 1, неравенство равносильно неравенству показателей:
\[
n > 1
\]
Наименьшее натуральное \( n \), удовлетворяющее этому условию: \( n = 2 \).
Ответ: \( n = 2 \)
б) \( 0{,}5^n < \frac{1}{7} \)
\[
\frac{1}{2^n} < \frac{1}{7}
\]
«Переворачиваем» дроби, меняя знак неравенства:
\[
2^n > 7
\]
Подбираем наименьшую степень двойки, которая больше 7:
\[
2^2 = 4 \quad (4 < 7)
\]
\[
2^3 = 8 \quad (8 > 7)
\]
Следовательно, \( n = 3 \).
Ответ: \( n = 3 \)
в) \( 0{,}5^n < \frac{2}{17} \)
\[
\frac{1}{2^n} < \frac{2}{17}
\]
Умножаем обе части неравенства на \( 2^n \) (положительное число) и на 17:
\[
17 < 2 \cdot 2^n
\]
\[
17 < 2^{n+1}
\]
Нам нужно найти наименьшее натуральное \( n \), при котором \( 2^{n+1} > 17 \).
Подбираем значения:
\[
2^{3+1} = 2^4 = 16 \quad (16 < 17)
\]
\[
2^{4+1} = 2^5 = 32 \quad (32 > 17)
\]
Таким образом, \( n+1 = 5 \), откуда \( n = 4 \).
Ответ: \( n = 4 \)
г) \( 0{,}5^n < \frac{3}{97} \)
\[
\frac{1}{2^n} < \frac{3}{97}
\]
Умножаем обе части на \( 2^n \) и на 97:
\[
97 < 3 \cdot 2^n
\]
\[
\frac{97}{3} < 2^n
\]
\[
2^n > \frac{97}{3}
\]
\[
2^n > 32{,}\overline{3}
\]
Подбираем значения:
\[
2^5 = 32 \quad (32 < 32{,}33…)
\]
\[
2^6 = 64 \quad (64 > 32{,}33…)
\]
Следовательно, \( n = 6 \).
Ответ: \( n = 6 \)
д) \( 0{,}5^n < 0{,}01 \)
\[
0{,}01 = \frac{1}{100}
\]
\[
\frac{1}{2^n} < \frac{1}{100}
\]
«Переворачиваем» дроби:
\[
2^n > 100
\]
Подбираем значения:
\[
2^6 = 64 \quad (64 < 100)
\]
\[
2^7 = 128 \quad (128 > 100)
\]
Следовательно, \( n = 7 \).
Ответ: \( n = 7 \)
е) \( 0{,}5^n < 0{,}001 \)
\[
0{,}001 = \frac{1}{1000}
\]
\[
\frac{1}{2^n} < \frac{1}{1000}
\]
«Переворачиваем» дроби:
\[
2^n > 1000
\]
Подбираем значения:
\[
2^9 = 512 \quad (512 < 1000)
\]
\[
2^{10} = 1024 \quad (1024 > 1000)
\]
Следовательно, \( n = 10 \).
Ответ:\( n = 10 \)
