ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 13 Мордкович — Подробные Ответы

Сколько точек на координатной прямой надо отметить для того, чтобы все расстояния между ними были бы попарно различными и число этих расстояний было бы больше 10, но меньше 20?

Количество попарно различных расстояний между \( n \) точками равно числу сочетаний \( C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} \).

По условию:
\[
10 < \frac{n(n-1)}{2} < 20
\]

Умножим все части неравенства на 2:
\[
20 < n(n-1) < 40
\]

Подберем натуральные \( n \):

При \( n = 6 \):
\[
6 \cdot 5 = 30 \quad \text{(20 < 30 < 40)}
\]

При \( n = 5 \):
\[
5 \cdot 4 = 20 \quad \text{(не больше 20)}
\]

При \( n = 7 \):
\[
7 \cdot 6 = 42 \quad \text{(не меньше 40)}
\]

Таким образом, единственное подходящее значение \( n = 6 \).

Ответ: \( 6 \) точек.

Шаг 1. Определение количества расстояний

Если на координатной прямой отмечено \( n \) точек, то количество всевозможных попарных расстояний между ними равно числу способов выбрать две различные точки из \( n \). Это число вычисляется по формуле сочетаний:

\[
C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}
\]

Это следует из того, что каждая пара точек \( (A, B) \) задает одно расстояние (поскольку \( |AB| = |BA| \)).

Шаг 2. Составление неравенства

По условию задачи, число этих попарно различных расстояний должно быть больше 10, но меньше 20. Запишем это в виде двойного неравенства:

\[
10 < \frac{n(n-1)}{2} < 20
\]

Шаг 3. Упрощение неравенства

Умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[
2 \cdot 10 < 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} < 2 \cdot 20
\]

\[
20 < n(n-1) < 40
\]

Теперь мы имеем двойное неравенство:

\[
n(n-1) > 20
\]

\[
n(n-1) < 40
\]

Шаг 4. Подбор натурального числа \( n \)

Будем последовательно проверять натуральные числа \( n \), начиная с малых значений.

— Для \( n = 5 \):
\[
n(n-1) = 5 \cdot 4 = 20
\]

Получаем 20, что не удовлетворяет строгому неравенству \( n(n-1) > 20 \). Не подходит.

— Для \( n = 6 \):
\[
n(n-1) = 6 \cdot 5 = 30
\]

Проверяем неравенство: \( 20 < 30 < 40 \). Оба условия выполняются. Число расстояний при этом:

\[
\frac{6 \cdot 5}{2} = 15
\]

\( 15 > 10 \) и \( 15 < 20 \). Условие задачи выполняется.

— Для \( n = 7 \):

\[
n(n-1) = 7 \cdot 6 = 42
\]
Проверяем неравенство: \( 42 < 40 \) — ложно. Число 42 не меньше 40. Не подходит.

Проверка бóльших значений \( n \) не требуется, так как функция \( n(n-1) \) растет, и условие \( n(n-1) < 40 \) нарушается.

Шаг 5. Вывод

Единственное натуральное число \( n \), удовлетворяющее условию \( 20 < n(n-1) < 40 \), это \( n = 6 \).

Ответ:\( 6 \)