ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 14 Мордкович — Подробные Ответы

а) Попарные расстояния между точками A(–5), B(–4), C(–1), D(4)

Вычислим все расстояния:

\[
AB = |-4 — (-5)| = |1| = 1
\]

\[AC = |-1 — (-5)| = |4| = 4
\]

\[
AD = |4 — (-5)| = |9| = 9
\]

\[
BC = |-1 — (-4)| = |3| = 3
\]

\[
BD = |4 — (-4)| = |8| = 8
\]

\[
CD = |4 — (-1)| = |5| = 5
\]

В порядке возрастания: 1, 3, 4, 5, 8, 9.

Ответ: 1, 3, 4, 5, 8, 9

б) Существуют ли 4 точки с расстояниями 1, 2, 3, 5, 6, 7?

Для 4 точек количество попарных расстояний равно \( C_4^2 = 6 \), что соответствует заданному набору.

Предположим, точки \( A, B, C, D \) на прямой, \( A \leq B \leq C \leq D \).

Тогда наибольшее расстояние \( AD = x_4 \) должно быть суммой некоторых промежуточных. В данном наборе наибольшее число 7.

Проверим возможные разложения 7 в сумму трёх чисел из оставшегося набора {1, 2, 3, 5, 6}:

— \( 7 = 1 + 6 \) — не подходит, т.к. 6 тоже большое расстояние.
— \( 7 = 2 + 5 \) — тогда AB = 2, BD = 5 или наоборот, но тогда AD = AB + BD = 7, значит B между A и D.
— \( 7 = 3 + 4 \) — но 4 нет в наборе.

Попробуем вариант \( AD = 7 \), \( AB = 2 \), \( BD = 5 \).

Тогда B между A и D. Координаты: A = 0, B = 2, D = 7.

Оставшиеся расстояния: 1, 3, 6.

Рассмотрим точку C:

AC и CD должны быть в наборе {1, 3, 6}, и BC тоже.

Если C между A и B: AC = 1, тогда C = 1, BC = 1 (не в наборе), CD = 6 (C=1, D=7 → 6, есть в наборе), но BC = 1 нет в наборе — противоречие.

Если C между B и D: BC = 3, тогда C = 5, AC = 5 (нет в наборе) — не подходит.

Если C левее A или правее D — также не получается набрать все расстояния.

Систематический перебор показывает, что невозможно расставить 4 точки на прямой так, чтобы 6 попарных расстояний были в точности 1, 2, 3, 5, 6, 7.

Ответ: Нет, нельзя.

а) Выпишите в порядке возрастания все попарные расстояния между точками А(–5), В(–4), С(–1), D(4)

Шаг 1. Найдем все возможные пары точек и расстояния между ними.
Расстояние между точками с координатами \( X \) и \( Y \) равно \( |X — Y| \).

\[
AB = |-4 — (-5)| = |1| = 1
\]

\[
AC = |-1 — (-5)| = |4| = 4
\]

\[
AD = |4 — (-5)| = |9| = 9
\]

\[
BC = |-1 — (-4)| = |3| = 3
\]

\[
BD = |4 — (-4)| = |8| = 8
\]

\[
CD = |4 — (-1)| = |5| = 5
\]

Шаг 2. Запишем полученные расстояния в порядке возрастания:
1, 3, 4, 5, 8, 9.

Ответ для пункта а): \( 1, 3, 4, 5, 8, 9 \)

б) Можно ли на прямой указать четыре точки, попарные расстояния между которыми равны 1, 2, 3, 5, 6, 7?

Шаг 1. Проверим возможность существования такого набора.
Для \( n = 4 \) точек количество попарных расстояний равно числу сочетаний из 4 по 2:

\[
C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6
\]

В условии дано 6 чисел: 1, 2, 3, 5, 6, 7. Количество совпадает.

Шаг 2. Обозначим точки в порядке возрастания координат:
\( A \le B \le C \le D \).
Тогда расстояния \( AB, AC, AD, BC, BD, CD \) должны быть набором \( \{1, 2, 3, 5, 6, 7\} \).

Шаг 3. Наибольшее расстояние \( AD = 7 \) (максимум в наборе).
Также \( AD = AB + BC + CD \), либо \( AD = AC + CD \), либо \( AD = AB + BD \) и т.д., но при \( A \le B \le C \le D \) верно \( AD = AB + BC + CD \).

Пусть \( AB = x \), \( BC = y \), \( CD = z \), тогда \( x + y + z = 7 \), и \( x, y, z \) — три из чисел набора (не обязательно в том же порядке).

Шаг 4. Попробуем найти \( x, y, z \) из набора \( \{1, 2, 3, 5, 6, 7\} \), чтобы \( x + y + z = 7 \).
Возможные тройки (без учёта порядка промежутков):

— \( 1 + 2 + 4 \) — 4 нет в наборе.
— \( 1 + 3 + 3 \) — повтор 3, но все расстояния попарно различны — не подходит.
— \( 1 + 1 + 5 \) — повтор 1 — не подходит.
— \( 2 + 2 + 3 \) — повтор 2 — не подходит.
— \( 1 + 2 + 4 \) — 4 нет.
— \( 1 + 5 + 1 \) — повтор.
— \( 2 + 3 + 2 \) — повтор.

Единственная возможная тройка различных чисел из набора, дающая в сумме 7: \( 1, 2, 4 \) — но 4 нет в наборе.
Других троек нет:
\( 1+2+4=7 \) (4 нет), \( 1+3+3 \) (повтор), \( 2+2+3 \) (повтор), \( 1+5+1 \) (повтор), \( 7+0+0 \) (0 нет, повтор), \( 3+3+1 \) (повтор), \( 5+1+1 \) (повтор), \( 2+5+0 \) (0 нет), \( 3+4+0 \) (0 и 4 нет), \( 6+1+0 \) (0 нет).

Вывод: Не существует трёх различных чисел из набора \( \{1, 2, 3, 5, 6, 7\} \), дающих в сумме 7.

Шаг 5. Проверим, может быть, \( AD \) не равно сумме всех трёх промежутков?
Если точки в порядке \( A \le B \le C \le D \), то \( AD = AB + BC + CD \) всегда.
Если порядок иной, например, \( B \) между \( A \) и \( C \), но \( D \) не правее \( C \), то наибольшее расстояние будет между какими-то другими точками, но тогда максимум 7 должен быть между какими-то двумя точками, не обязательно \( A \) и \( D \). Переобозначим точки так, чтобы \( P_1 \le P_2 \le P_3 \le P_4 \), тогда \( P_1P_4 \) — наибольшее расстояние = 7, и \( P_1P_4 = P_1P_2 + P_2P_3 + P_3P_4 \). Сумма трёх различных чисел набора = 7 — невозможно, как показано.

Ответ для пункта б):Нет, нельзя указать 4 точки на прямой с попарными расстояниями 1, 2, 3, 5, 6, 7.