Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 15 Мордкович — Подробные Ответы
На прямой отметили k точек. После этого отметили середины между каждыми двумя соседними точками. Затем между каждыми двумя соседними точками отметили по две точки. Могло ли итоговое число точек равняться: а) 100; б) 101; в) 102; г) 103; д) 104; е) 105? Ответ «нет» обоснуйте, а при ответе «да» найдите k.
Решение
1. Начало: \( k \) точек на прямой ⇒ \( k-1 \) промежутков.
2. Первый шаг: в каждом промежутке добавили 1 точку (середину) ⇒ добавили \( k-1 \) точек.
Стало точек: \( k + (k-1) = 2k — 1 \).
3. Второй шаг: Между каждыми двумя соседними точками (теперь их \( 2k-2 \) промежутков) добавили по 2 точки ⇒ добавили \( 2(2k-2) = 4k — 4 \) точек.
Стало точек: \( (2k — 1) + (4k — 4) = 6k — 5 \).
4. Итог: \( N = 6k — 5 \), где \( k \geq 2 \) (иначе нет промежутков для добавления).
5. Проверка вариантов:
\[
6k — 5 = N \quad \Rightarrow \quad 6k = N + 5 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{N+5}{6}
\]
— а) \( N = 100 \): \( k = \frac{105}{6} = 17{,}5 \) — не целое ⇒ нет.
— б) \( N = 101 \): \( k = \frac{106}{6} \) — не целое ⇒ нет.
— в) \( N = 102 \): \( k = \frac{107}{6} \) — не целое ⇒ нет.
— г) \( N = 103 \): \( k = \frac{108}{6} = 18 \) — целое ⇒ да, \( k = 18 \).
— д) \( N = 104 \): \( k = \frac{109}{6} \) — не целое ⇒ нет.
— е)\( N = 105 \): \( k = \frac{110}{6} \) — не целое ⇒ нет.
Ответ:
а) нет
б) нет
в) нет
г) да, \( k = 18 \)
д) нет
е) нет
Шаг 1. Анализ начальной конфигурации
Изначально на прямой отмечено \( k \) точек.
Между ними образуется \( k-1 \) промежуток.
\[
\text{Число промежутков} = k — 1
\]
Шаг 2. Первое добавление точек
Между каждыми двумя соседними точками отмечают середины.
В каждом из \( k-1 \) промежутков добавляется 1 точка.
\[
\text{Добавлено точек} = k — 1
\]
\[
\text{Общее число точек после первого шага} = k + (k — 1) = 2k — 1
\]
Шаг 3. Второе добавление точек
Теперь на прямой \( 2k — 1 \) точек.
Между ними образуется \( (2k — 1) — 1 = 2k — 2 \) промежутков.
В каждом промежутке добавляют по 2 точки.
\[
\text{Добавлено точек} = 2 \times (2k — 2) = 4k — 4
\]
\[
\text{Общее число точек после второго шага} = (2k — 1) + (4k — 4) = 6k — 5
\]
Шаг 4. Итоговая формула
Итоговое число точек \( N \) выражается формулой:
\[
N = 6k — 5
\]
где \( k \geq 2 \) (иначе нет промежутков для добавления точек).
Шаг 5. Проверка возможных значений \( N \)
Выразим \( k \) через \( N \):
\[
6k — 5 = N \quad \Rightarrow \quad 6k = N + 5 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{N + 5}{6}
\]
\( k \) должно быть натуральным числом \( \geq 2 \).
а) \( N = 100 \)
\[
k = \frac{100 + 5}{6} = \frac{105}{6} = 17{,}5
\]
\( k \) не является натуральным числом.
Ответ: нет.
б) \( N = 101 \)
\[
k = \frac{101 + 5}{6} = \frac{106}{6} = 17{,}\overline{6}
\]
\( k \) не является натуральным числом.
Ответ: нет.
в) \( N = 102 \)
\[
k = \frac{102 + 5}{6} = \frac{107}{6} \approx 17{,}833
\]
\( k \) не является натуральным числом.
Ответ: нет.
г) \( N = 103 \)
\[
k = \frac{103 + 5}{6} = \frac{108}{6} = 18
\]
\( k = 18 \) — натуральное число \( \geq 2 \).
Ответ: да, \( k = 18 \).
д) \( N = 104 \)
\[
k = \frac{104 + 5}{6} = \frac{109}{6} \approx 18{,}167
\]
\( k \) не является натуральным числом.
Ответ: нет.
е) \( N = 105 \)
\[
k = \frac{105 + 5}{6} = \frac{110}{6} \approx 18{,}333
\]
\( k \) не является натуральным числом.
Ответ: нет.
Итоговый ответ:
а) нет
б) нет
в) нет
г) да, \( k = 18 \)
д) нет
е) нет
