ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 16 Мордкович — Подробные Ответы

В первой слева клетке полоски 1×8 плоттер поставил одну точку, в следующей клетке две точки, в следующей — четыре точки. Далее количество точек удваивалось по сравнению с каждой предыдущей клеткой. Сколько всего точек было поставлено?

Количество точек в клетках: \( 2^0, 2^1, 2^2, \dots, 2^7 \).

Сумма геометрической прогрессии:

\[
S = \frac{2^8 — 1}{2 — 1} = 2^8 — 1 = 256 — 1 = 255
\]

Ответ:255

Шаг 1. Определение количества точек в каждой клетке

В условии сказано, что в первой клетке 1 точка, а затем количество точек удваивается в каждой следующей клетке. Всего клеток 8.

\[
\text{1-я клетка: } 1 = 2^0
\]

\[
\text{2-я клетка: } 2 = 2^1
\]

\[
\text{3-я клетка: } 4 = 2^2
\]

\[
\text{4-я клетка: } 8 = 2^3
\]

\[
\text{5-я клетка: } 16 = 2^4
\]

\[
\text{6-я клетка: } 32 = 2^5
\]

\[
\text{7-я клетка: } 64 = 2^6
\]

\[
\text{8-я клетка: } 128 = 2^7
\]

Шаг 2. Запись последовательности

Количество точек в клетках представляет собой геометрическую прогрессию:

\[
2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 2^7
\]

Шаг 3. Вычисление суммы прогрессии

Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[
S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}
\]

где:
— \( b_1 = 2^0 = 1 \) (первый член)
— \( q = 2 \) (знаменатель прогрессии)
— \( n = 8 \) (количество членов)

Подставляем значения в формулу:

\[
S_8 = \frac{1 \cdot (2^8 — 1)}{2 — 1}
\]

\[
S_8 = \frac{256 — 1}{1}
\]

\[
S_8 = 255
\]

Шаг 4. Проверка прямым сложением

Для уверенности проверим прямым сложением:

\[
1 + 2 = 3
\]

\[
3 + 4 = 7
\]

\[
7 + 8 = 15
\]

\[
15 + 16 = 31
\]

\[
31 + 32 = 63
\]

\[
63 + 64 = 127
\]

\[
127 + 128 = 255
\]

Результат совпадает.

Ответ: 255