Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 2 Мордкович — Подробные Ответы
В записи 2 3 4 5 6 7 расставьте знаки «+» или «—» между всеми числами и, если надо, перед первым числом так, чтобы значение полученного числового выражения было равно: а) 21; б) 17; в) 11; г) 9; д) 5; е) 1.
а)
\[
2 — 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 21
\]
\[
2 — 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 21
\]
б)
\[
2 + 3 + 4 — 5 + 6 + 7 = 17
\]
\[
2 + 3 + 4 — 5 + 6 + 7 = 17
\]
в)
\[
-2 + 3 + 4 + 5 — 6 + 7 = 11
\]
\[
-2 + 3 + 4 + 5 — 6 + 7 = 11
\]
г)
\[
2 — 3 + 4 + 5 — 6 + 7 = 9
\]
\[
2 — 3 + 4 + 5 — 6 + 7 = 9
\]
д)
\[
2 — 3 — 4 + 5 — 6 + 7 = 1
\]
\[
-2 + 3 + 4 — 5 — 6 + 7 = 1
\]
Попробуем:
\[
2 + 3 + 4 — 5 — 6 + 7 = 5
\]
\[
2 + 3 + 4 — 5 — 6 + 7 = 5
\]
е)
\[
2 — 3 — 4 + 5 — 6 + 7 = 1
\]
\[
2 — 3 — 4 + 5 — 6 + 7 = 1
\]
Рассмотрим выражение, составленное из чисел \(2, 3, 4, 5, 6, 7\), между которыми можно ставить знаки «+» или «–», а также можно поставить знак «+» или «–» перед первым числом (2).
Любое такое выражение имеет вид:
\[
\pm 2 \pm 3 \pm 4 \pm 5 \pm 6 \pm 7
\]
Обозначим сумму всех чисел:
\[
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27
\]
Если перед некоторыми числами поставить минус, то общая сумма уменьшится на удвоенную сумму тех чисел, перед которыми стоит минус.
Пусть \(T\) — сумма чисел, перед которыми стоит знак «–». Тогда значение всего выражения:
\[
S = 27 — 2T
\]
Следовательно, все возможные значения выражения — это числа вида \(27 — 2T\), где \(T\) — сумма некоторого подмножества множества \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\).
Поскольку \(2T\) — чётное число, а 27 — нечётное, то все возможные значения \(S\) — нечётные.
Это важно: только нечётные числа могут быть получены.
Все целевые значения в задаче — нечётные: 21, 17, 11, 9, 5, 1 — значит, они могут быть достижимы.
Теперь для каждого значения найдём подходящее \(T\), а затем подберём конкретное выражение.
а) \(S = 21\)
Из формулы \(S = 27 — 2T\) получаем:
\[
21 = 27 — 2T \quad \Rightarrow \quad 2T = 6 \quad \Rightarrow \quad T = 3
\]
Нужно, чтобы сумма чисел со знаком «–» была равна 3.
Единственный способ: взять число 3.
Значит, перед 3 ставим «–», перед остальными — «+»:
\[
2 — 3 + 4 + 5 + 6 + 7
\]
Проверим:
\[
2 — 3 = -1
\]
\[
-1 + 4 = 3
\]
\[
3 + 5 = 8
\]
\[
8 + 6 = 14
\]
\[
14 + 7 = 21
\]
Верно.
\[
2 — 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 21
\]
б) \(S = 17\)
\[
17 = 27 — 2T \quad \Rightarrow \quad 2T = 10 \quad \Rightarrow \quad T = 5
\]
Нужна сумма чисел со знаком «–» равна 5. Возможные варианты:
— только число 5;
— или \(2 + 3 = 5\).
Выберем простой вариант: минус перед 5.
\[
2 + 3 + 4 — 5 + 6 + 7
\]
Проверим:
\[
2 + 3 = 5,\quad 5 + 4 = 9,\quad 9 — 5 = 4,\quad 4 + 6 = 10,\quad 10 + 7 = 17
\]
Верно.
\[
2 + 3 + 4 — 5 + 6 + 7 = 17
\]
(Можно также: \(-2 — 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 17\), но первый вариант проще.)
в) \(S = 11\)
\[
11 = 27 — 2T \quad \Rightarrow \quad 2T = 16 \quad \Rightarrow \quad T = 8
\]
Нужно, чтобы сумма чисел со знаком «–» была 8. Возможные комбинации:
— \(2 + 6 = 8\)
— \(3 + 5 = 8\)
— \(8\) — нет такого числа
— \(2 + 3 + 3\) — повторов нет
Выберем \(3 + 5 = 8\).
Ставим минус перед 3 и 5:
\[
2 — 3 + 4 — 5 + 6 + 7
\]
Проверим:
\[
2 — 3 = -1
\]
\[
-1 + 4 = 3
\]
\[
3 — 5 = -2
\]
\[
-2 + 6 = 4
\]
\[
4 + 7 = 11
\]
Верно.
\[
2 — 3 + 4 — 5 + 6 + 7 = 11
\]
г) \(S = 9\)
\[
9 = 27 — 2T \quad \Rightarrow \quad 2T = 18 \quad \Rightarrow \quad T = 9
\]
Нужна сумма минусов = 9. Варианты:
— \(2 + 7 = 9\)
— \(3 + 6 = 9\)
— \(4 + 5 = 9\)
— \(2 + 3 + 4 = 9\)
Выберем \(4 + 5 = 9\).
Минус перед 4 и 5:
\[
2 + 3 — 4 — 5 + 6 + 7
\]
Проверим:
\[
2 + 3 = 5
\]
\[
5 — 4 = 1
\]
\[
1 — 5 = -4
\]
\[
-4 + 6 = 2
\]
\[
2 + 7 = 9
\]
Верно.
\[
2 + 3 — 4 — 5 + 6 + 7 = 9
\]
д) \(S = 5\)
\[
5 = 27 — 2T \quad \Rightarrow \quad 2T = 22 \quad \Rightarrow \quad T = 11
\]
Сумма чисел со знаком «–» должна быть 11. Варианты:
— \(4 + 7 = 11\)
— \(5 + 6 = 11\)
— \(2 + 3 + 6 = 11\)
— \(2 + 4 + 5 = 11\)
Выберем \(5 + 6 = 11\).
Минус перед 5 и 6:
\[
2 + 3 + 4 — 5 — 6 + 7
\]
Проверим:
\[
2 + 3 = 5
\]
\[
5 + 4 = 9
\]
\[
9 — 5 = 4
\]
\[
4 — 6 = -2
\]
\[
-2 + 7 = 5
\]
Верно.
\[
2 + 3 + 4 — 5 — 6 + 7 = 5
\]
е) \(S = 1\)
\[
1 = 27 — 2T \quad \Rightarrow \quad 2T = 26 \quad \Rightarrow \quad T = 13
\]
Сумма чисел со знаком «–» = 13. Варианты:
— \(6 + 7 = 13\)
— \(2 + 4 + 7 = 13\)
— \(3 + 4 + 6 = 13\)
— \(2 + 3 + 4 + 4\) — нет
— \(2 + 5 + 6 = 13\)
Выберем простой: \(6 + 7 = 13\).
Минус перед 6 и 7:
\[
2 + 3 + 4 + 5 — 6 — 7
\]
Проверим:
\[
2 + 3 = 5
\]
\[
5 + 4 = 9
\]
\[
9 + 5 = 14
\]
\[
14 — 6 = 8
\]
\[
8 — 7 = 1
\]
Верно.
\[
2 + 3 + 4 + 5 — 6 — 7 = 1
\]
Итоговые ответы:
а) \(2 — 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 21\)
б) \(2 + 3 + 4 — 5 + 6 + 7 = 17\)
в) \(2 — 3 + 4 — 5 + 6 + 7 = 11\)
г) \(2 + 3 — 4 — 5 + 6 + 7 = 9\)
д) \(2 + 3 + 4 — 5 — 6 + 7 = 5\)
е) \(2 + 3 + 4 + 5 — 6 — 7 = 1\)
