ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 20 Мордкович — Подробные Ответы

а) Верно. \( n = 2k \Rightarrow n^2 = 4k^2 \) — чётно.

б) Верно. Если \( n \) нечётно, \( n^2 \) нечётно — противоречие.

в) Неверно. Пример: \( n = 2 \), \( n^2 = 4 \) кратно 4, но \( n \) не кратно 4.

г) Верно. \( n = 3k \Rightarrow n^3 = 27k^3 = 9 \cdot (3k^3) \) — кратно 9.

д) Верно. \( n^3 \) кратно 9 \( \Rightarrow v_3(n^3) \ge 2 \Rightarrow 3v_3(n) \ge 2 \Rightarrow v_3(n) \ge 1 \Rightarrow n \) кратно 3 \( \Rightarrow n^2 \) кратно 9.

е) Верно. 3 и 8 взаимно просты \( \Rightarrow \) делится на \( 3 \cdot 8 = 24 \).

Ответ:
а) верно
б) верно
в) неверно
г) верно
д) верно
е) верно

а) Если число чётно, то и его квадрат чётен

Пусть \( n \) — чётное число. Тогда его можно представить в виде:

\[
n = 2k, \quad k \in \mathbb{N}
\]

Возведём в квадрат:

\[
n^2 = (2k)^2 = 4k^2
\]

\[
n^2 = 2 \cdot (2k^2)
\]

Следовательно, \( n^2 \) делится на 2, то есть является чётным числом.

Ответ: верно.

б) Если квадрат числа чётен, то и число чётно

Докажем от противного. Предположим, что число \( n \) нечётно. Тогда:

\[
n = 2k + 1, \quad k \in \mathbb{N}_0
\]

\[
n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1
\]

Получаем, что \( n^2 \) нечётно, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и \( n \) должно быть чётным.

Ответ: верно.

в) Если квадрат числа кратен 4, то и число кратно 4

Рассмотрим контрпример. Пусть \( n = 2 \):

\[
n^2 = 4 \quad \text{кратно 4}
\]

Но само число \( n = 2 \) не кратно 4.

Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно. Контрпример: \( n = 2 \).

г) Если число кратно 3, то его куб кратен 9

Пусть \( n \) кратно 3:

\[
n = 3k, \quad k \in \mathbb{N}
\]

Возведём в куб:

\[
n^3 = (3k)^3 = 27k^3
\]

\[
n^3 = 9 \cdot (3k^3)
\]

Следовательно, \( n^3 \) делится на 9.

Ответ: верно.

д) Если куб числа кратен 9, то и квадрат числа кратен 9

Пусть \( n^3 \) кратен 9. Разложим на простые множители:

\[
n^3 = 9m = 3^2 \cdot m
\]

В левой части стоит куб числа \( n \), значит, все простые множители входят в степени, кратной 3. В частности, для простого числа 3:

\[
v_3(n^3) = 3 \cdot v_3(n) \geq 2
\]

где \( v_3(n) \) — показатель степени 3 в разложении \( n \).

\[
3 \cdot v_3(n) \geq 2 \quad \Rightarrow \quad v_3(n) \geq \frac{2}{3}
\]

Так как \( v_3(n) \) — целое неотрицательное число, то:

\[
v_3(n) \geq 1
\]

Следовательно, \( n \) делится на 3. Тогда:

\[
n = 3k \quad \Rightarrow \quad n^2 = 9k^2
\]

Значит, \( n^2 \) делится на 9.

Ответ: верно.

е) Если число делится и на 3, и на 8, то оно делится на 24

Числа 3 и 8 взаимно просты, так как:

\[
\text{НОД}(3,8) = 1
\]

Известное свойство: если \( a \mid n \) и \( b \mid n \), и \( \text{НОД}(a,b) = 1 \), то \( ab \mid n \).

Следовательно:

\[
3 \mid n \quad \text{и} \quad 8 \mid n \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot 8 = 24 \mid n
\]

Ответ: верно.

Итоговые ответы:

а) верно
б) верно
в) неверно (контрпример: \( n = 2 \))
г) верно
д) верно
е) верно