ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 22 Мордкович — Подробные Ответы

1) Решение

а) Двузначные числа, дающие остаток 4 при делении на 6:
\[
n = 6k + 4,\quad 10 \leq n \leq 99
\]

\[
k_{\min} = 1 \ (n=10),\quad k_{\max} = 15 \ (n=94)
\]

Количество: \( 15 \) чисел.

б)Двузначные числа, дающие остаток 4 при делении на 9:

\[
n = 9m + 4,\quad 10 \leq n \leq 99
\]

\[
m_{\min} = 1 \ (n=13),\quad m_{\max} = 10 \ (n=94)
\]

Количество: \( 10 \) чисел.

в) Объединение условий (а) или (б):
Числа вида \( 6k+4 \) или \( 9m+4 \).
Исключаем пересечение (г), чтобы не посчитать дважды.

г) Пересечение (а) и (б): числа, дающие остаток 4 при делении и на 6, и на 9:
\[
n \equiv 4 \pmod{6},\quad n \equiv 4 \pmod{9}
\]

\[
\Rightarrow n \equiv 4 \pmod{\text{НОК}(6,9)=18}
\]

\[
n = 18t + 4,\quad 10 \leq n \leq 99
\]

\[
t_{\min} = 1 \ (n=22),\quad t_{\max} = 5 \ (n=94)
\]
Количество: \( 5 \) чисел.

Теперь для (в):
\[
N(в) = N(а) + N(б) — N(г) = 15 + 10 — 5 = 20
\]

2) Арифметическое соотношение

\[
N(в) = N(а) + N(б) — N(г)
\]

\[
20 = 15 + 10 — 5
\]

Ответ:
а) 15 чисел
б) 10 чисел
в) 20 чисел
г) 5 чисел
Соотношение: \( N(в) = N(а) + N(б) — N(г) \)

Задача: найти все двузначные числа, удовлетворяющие условиям на остатки от деления на 6 и 9, и установить соотношение между их количествами.

1) Пункт «а»

Число \( N \) — двузначное, \( 10 \le N \le 99 \), и \( N \mod 6 = 4 \).

То есть \( N = 6k + 4 \), \( k \in \mathbb{Z} \).

Двузначность:
\( 10 \le 6k + 4 \le 99 \)
\( 6 \le 6k \le 95 \)
\( 1 \le k \le 15 \) (т.к. \( 95/6 \approx 15{,}83 \)).

Значит \( k = 1, 2, \dots, 15 \).

Количество: \( 15 \) чисел.

Выпишем их для ясности:
\( k=1: 10 \), \( k=2: 16 \), \( k=3: 22 \), \( k=4: 28 \), \( k=5: 34 \), \( k=6: 40 \), \( k=7: 46 \), \( k=8: 52 \), \( k=9: 58 \), \( k=10: 64 \), \( k=11: 70 \), \( k=12: 76 \), \( k=13: 82 \), \( k=14: 88 \), \( k=15: 94 \).

\[
A = \{10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70, 76, 82, 88, 94\}
\]

\[
|A| = 15
\]

2) Пункт «б»

\( N \mod 9 = 4 \), \( N = 9m + 4 \), \( 10 \le N \le 99 \).

\( 10 \le 9m + 4 \le 99 \)
\( 6 \le 9m \le 95 \)
\( m \ge 1 \) (т.к. \( m=0 \) даёт 4 — не двузначное), \( m \le 95/9 \approx 10{,}55 \), значит \( m = 1, 2, \dots, 10 \).

Количество: \( 10 \) чисел.

Выпишем:
\( m=1: 13 \), \( m=2: 22 \), \( m=3: 31 \), \( m=4: 40 \), \( m=5: 49 \), \( m=6: 58 \), \( m=7: 67 \), \( m=8: 76 \), \( m=9: 85 \), \( m=10: 94 \).

\[
B = \{13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, 85, 94\}
\]

\[
|B| = 10
\]

3) Пункт «в»

\( N \in A \cup B \) — числа, которые при делении на 6 дают остаток 4 или при делении на 9 дают остаток 4.

Формула включений-исключений:
\[
|A \cup B| = |A| + |B| — |A \cap B|
\]

Найдём \( A \cap B \) (пункт «г»)

\( N \mod 6 = 4 \) и \( N \mod 9 = 4 \).

Это значит \( N — 4 \) кратно и 6, и 9, т.е. кратно \( \mathrm{lcm}(6,9) = 18 \).

\( N — 4 = 18t \), \( N = 18t + 4 \).

Двузначные: \( 10 \le 18t + 4 \le 99 \)
\( 6 \le 18t \le 95 \)
\( t \ge 1 \) (при \( t=0 \) число 4 — не двузначное), \( t \le 95/18 \approx 5{,}27 \), \( t = 1, 2, 3, 4, 5 \).

Числа: \( 22, 40, 58, 76, 94 \).

\[
A \cap B = \{22, 40, 58, 76, 94\}
\]

\[
|A \cap B| = 5
\]

Тогда
\[
|A \cup B| = 15 + 10 — 5 = 20
\]

4) Пункт «г»

Мы уже нашли: \( A \cap B \), \( |A \cap B| = 5 \).

5) Итоговые множества и количества

а) \( |A| = 15 \)
б) \( |B| = 10 \)
в) \( |A \cup B| = 20 \)
г) \( |A \cap B| = 5 \)

6) Арифметическое соотношение между количествами

Проверим:
\[
|A \cup B| = |A| + |B| — |A \cap B|
\]

\[
20 = 15 + 10 — 5
\]
Верно.

Также \( |A \cap B| = 5 \), \( |A| = 3 \cdot |A \cap B| \), \( |B| = 2 \cdot |A \cap B| \), \( |A \cup B| = 4 \cdot |A \cap B| \).

То есть:
\[
|A| : |B| : |A \cap B| : |A \cup B| = 3 : 2 : 1 : 4
\]

Ответ на вторую часть:
Соотношение количеств чисел из пунктов а, б, г, в:
\[
|A| : |B| : |A \cap B| : |A \cup B| = 15 : 10 : 5 : 20 = 3 : 2 : 1 : 4
\]

Окончательный ответ: 3: 2: 1: 4