ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 23 Мордкович — Подробные Ответы

В классе 27 учеников. Рост каждого или меньше 160 см, или больше 150 см. Тех, у кого рост меньше 160 см, — 24. Тех, у кого рост больше 150 см, — 12. Сколько учеников, рост которых меньше 160 см и при этом больше 150 см?

Пусть \( A \) — ученики с ростом \( < 160 \) см, \( B \) — ученики с ростом \( > 150 \) см.

Дано:
\[
|A| = 24,\quad |B| = 12,\quad |A \cup B| = 27
\]

По формуле включений-исключений:
\[
|A \cup B| = |A| + |B| — |A \cap B|
\]

\[
27 = 24 + 12 — |A \cap B|
\]

\[
|A \cap B| = 36 — 27 = 9
\]

Ответ: 9 учеников.

1) Введём обозначения

Пусть:
\( A \) — множество учеников с ростом \( < 160 \) см, \( |A| = 24 \).
\( B \) — множество учеников с ростом \( > 150 \) см, \( |B| = 12 \).

Ищем \( |A \cap B| \) — тех, у кого рост \( < 160 \) и \( > 150 \), т.е. \( 150 < \text{рост} < 160 \).

2) Используем условие «рост каждого или меньше 160, или больше 150»

Это означает: \( A \cup B = \text{все ученики} \), потому что нет учеников, у которых рост \( \ge 160 \) и \( \le 150 \) одновременно (таких не существует по смыслу, но формально: если рост не меньше 160 и не больше 150, то \( \text{рост} \ge 160 \) и \( \text{рост} \le 150 \) — невозможно, кроме случая 160 и 150, но по условию каждый удовлетворяет хотя бы одному из условий).

Уточнение: условие «или меньше 160, или больше 150» означает, что нет учеников с ростом \( \ge 160 \) и \( \le 150 \) одновременно. Но рост \( \ge 160 \) и \( \le 150 \) невозможен, кроме равенства 160 и 150, но 160 не меньше 160, 150 не больше 150. Значит, любой ученик с ростом ровно 150 см не подходит под «>150» и не подходит под «<160»? Проверим: рост 150 — он не меньше 160 (ложь) и не больше 150 (ложь) — значит, он не удовлетворяет условию «или меньше 160, или больше 150». Значит, учеников с ростом 150 нет. Аналогично рост 160 — не меньше 160, не больше 150 — тоже не удовлетворяет.

Значит, все ученики имеют рост \( < 150 \) или \( 150 < \text{рост} < 160 \) или \( > 160 \)? Нет, по условию «или <160 или >150» — это охватывает всех, кроме тех, у кого рост \( \le 150 \) и \( \ge 160 \) одновременно (невозможно) и тех, у кого рост \( \ge 160 \) и \( \le 150 \) — невозможно. На самом деле условие «или P или Q», где P = рост < 160, Q = рост > 150, ложно только если рост \( \ge 160 \) и \( \le 150 \), что невозможно. Значит, условие выполнено для всех ростов? Проверим границы: рост 150: P = ложь (150 < 160? 150 < 160 — истина! Стоп, я ошибся: P = рост < 160 — истинно для 150, Q = рост > 150 — ложно. Истинно или ложно = истинно. Значит, 150 подходит под «<160». Рост 160: P = ложь (160 < 160 — ложь), Q = рост > 150 — истинно (160 > 150). Истинно или ложно = истинно. Значит, все реальные росты подходят под это «или». То есть условие «или меньше 160, или больше 150» на самом деле выполняется для любого роста, потому что если рост ≤ 150, то он меньше 160, а если рост ≥ 160, то он больше 150, а между ними тоже выполняется. То есть это тавтология при обычных числах.

Следовательно, условие «или меньше 160, или больше 150» означает на самом деле: \( A \cup B = U \), потому что любой рост удовлетворяет хотя бы одному из условий.

Значит, \( |A \cup B| = 27 \).

3) Применяем формулу включений-исключений

\[
|A \cup B| = |A| + |B| — |A \cap B|
\]

\[
27 = 24 + 12 — |A \cap B|
\]

\[
27 = 36 — |A \cap B|
\]

\[
|A \cap B| = 36 — 27
\]

\[
|A \cap B| = 9
\]

4) Проверка

\( A \cap B \) — это ученики с ростом \( < 160 \) и \( > 150 \), т.е. \( 150 < \text{рост} < 160 \). Их 9.

Тогда \( A \setminus B \) — рост \( \le 150 \) и \( < 160 \) (т.е. \( \le 150 \)) = \( 24 — 9 = 15 \).
\( B \setminus A \) — рост \( > 150 \) и \( \ge 160 \) (т.е. \( \ge 160 \)) = \( 12 — 9 = 3 \).

Сумма: \( 15 + 9 + 3 = 27 \) — верно.

Ответ:9 учеников.