Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 24 Мордкович — Подробные Ответы
В каждом из трёх новогодних конкурсов участвовало по 20 учеников. Оказалось, что 17 из них участвовали только в одном конкурсе и пятеро участвовали только в двух конкурсах. Сколько учеников участвовало во всех трёх конкурсах?
Обозначим:
\( x \) — число учеников, участвовавших во всех трёх конкурсах.
Учеников, участвовавших только в одном конкурсе: 17.
Учеников, участвовавших только в двух конкурсах: 5.
Всего различных учеников: \( 17 + 5 + x \).
Сумма участников по конкурсам: \( 3 \times 20 = 60 \).
Ученик, участвовавший в одном конкурсе, учтен 1 раз в этой сумме; в двух конкурсах — 2 раза; в трёх — 3 раза.
\[
17 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + x \cdot 3 = 60
\]
\[
17 + 10 + 3x = 60
\]
\[
3x = 33
\]
\[
x = 11
\]
Ответ: 11
1) Введём обозначения
Пусть:
\( x \) — количество учеников, участвовавших только в одном конкурсе, \( x = 17 \).
\( y \) — количество учеников, участвовавших ровно в двух конкурсах, \( y = 5 \).
\( z \) — количество учеников, участвовавших во всех трёх конкурсах (искомое).
Общее количество учеников: \( N = x + y + z \).
2) Учтём данные о числе участников в каждом конкурсе
В каждом конкурсе участвовало по 20 человек.
Ученик, участвующий только в одном конкурсе, даёт 1 участника в одном конкурсе.
Ученик, участвующий ровно в двух конкурсах, даёт по 1 участнику в двух конкурсах.
Ученик, участвующий во всех трёх конкурсах, даёт по 1 участнику в каждом из трёх конкурсов.
Подсчитаем общее число «посещений» конкурсов (сумму участников по всем трём конкурсам)
\[
3 \times 20 = 60
\]
С другой стороны, эта сумма равна:
\[
1 \cdot x + 2 \cdot y + 3 \cdot z
\]
Подставляем \( x = 17 \), \( y = 5 \):
\[
1 \cdot 17 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot z = 60
\]
\[
17 + 10 + 3z = 60
\]
\[
27 + 3z = 60
\]
\[
3z = 33
\]
\[
z = 11
\]
3) Проверка
Если \( z = 11 \), то общее число учеников \( N = 17 + 5 + 11 = 33 \).
Проверим сумму участников по конкурсам:
Ученики только в одном конкурсе: \( 17 \times 1 = 17 \) участников-упоминаний.
Ученики в двух конкурсах: \( 5 \times 2 = 10 \) участников-упоминаний.
Ученики в трёх конкурсах: \( 11 \times 3 = 33 \) участников-упоминаний.
Всего упоминаний: \( 17 + 10 + 33 = 60 \), что равно \( 3 \times 20 \). Всё верно.
Ответ:11
