Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 25 Мордкович — Подробные Ответы
В классе 24 ученика. Девочек больше, чем мальчиков. Все ученики расселись за круглым столом симметрично относительно его центра. Докажите, что какие-то две девочки сидят друг напротив друга.
Так как девочек больше, чем мальчиков, то девочек не меньше 13 человек, а мальчиков не больше 11 человек.
Тогда, если рассадить мальчиков и девочек по парам, то для 11 мальчиков найдется в пару 11 девочек, а оставшиеся две девочки будут сидеть друг напротив друга.
Таким образом, требуется доказать, что для 11 мальчиков найдется в пару 11 девочек, а оставшиеся две девочки будут сидеть друг напротив друга.
Шаг 1. Структура рассадки
Стол круглый, 24 места. Симметрия относительно центра означает, что для каждого места есть ровно одно противоположное.
Таким образом, 24 места разбиваются на 12 пар противоположных мест.
Шаг 2. Обозначения
Пусть \( d \) — число девочек, \( m \) — число мальчиков.
Известно:
\[
d + m = 24, \quad d > m.
\]
Отсюда:
\[
d \ge 13, \quad m \le 11.
\]
Шаг 3. Метод от противного
Предположим, что никакие две девочки не сидят напротив друг друга.
Тогда в каждой из 12 пар противоположных мест может быть:
— либо 1 девочка и 1 мальчик,
— либо 0 девочек (т.е. 2 мальчика).
Шаг 4. Подсчёт девочек при таком предположении
Пусть \( x \) — число пар типа «девочка–мальчик», \( y \) — число пар типа «мальчик–мальчик».
Тогда:
\[
x + y = 12.
\]
Число девочек \( d = x \) (так как в каждой паре «девочка–мальчик» ровно одна девочка, а в парах «мальчик–мальчик» девочек нет).
Число мальчиков \( m = x + 2y \) (в парах «девочка–мальчик» 1 мальчик, в парах «мальчик–мальчик» — 2 мальчика).
Шаг 5. Проверка неравенства \( d > m \)
Из \( m = x + 2y \) и \( y = 12 — x \) получаем:
\[
m = x + 2(12 — x) = 24 — x.
\]
Но \( d = x \), значит:
\[
d > m \quad \Rightarrow \quad x > 24 — x \quad \Rightarrow \quad 2x > 24 \quad \Rightarrow \quad x > 12.
\]
Но \( x \) — число пар «девочка–мальчик», а всего пар 12, значит \( x \le 12 \).
Получаем противоречие: \( x > 12 \) и \( x \le 12 \) одновременно неверны.
Шаг 6. Вывод
Предположение, что никакие две девочки не сидят напротив, приводит к противоречию.
Следовательно, существует хотя бы одна пара противоположных мест, в которой сидят две девочки.
Ответ:
Что и требовалось доказать.
