ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 7 Мордкович — Подробные Ответы

а) ОДИН + ОДИН = МНОГО.
При сложении двух четырёхзначных чисел получили пятизначное число, значит, М = 1, О > 4, а Н < 5.
В таком случае, подходят Н = 3 и Н = 4.
Если Н = 3, то О = 6, тогда Д + Д = 6, то есть, Д = 8.
Значит, И = 2, Г = 4.

\[
\begin{array}{r}
6\ 8\ 2\ 3 \\
+ 6\ 8\ 2\ 3 \\
\hline
1\ 3\ 6\ 4\ 6 \\
\end{array}
\]

Если Н = 4, то О = 8, тогда Д + Д = 8, МН = 16.
В этом случае решения нет.
Ответ: О = 6, Д = 8, И = 2, Н = 3, М = 1, Г = 4.

б) УДАР + УДАР = ДРАКА.
При сложении двух четырёхзначных чисел получили пятизначное число, значит, Д = 1, У > 4.
Методом перебора находим, что Р = 6.
Тогда, А = 2, К = А + А + 1 = 5, Y = 8.

\[
\begin{array}{r}
8\ 1\ 2\ 6 \\
+ 8\ 1\ 2\ 6 \\
\hline
1\ 6\ 2\ 5\ 2 \\
\end{array}
\]

Ответ: Y = 8, Д = 1, А = 2, Р = 6, К = 5.

в) МЕТР + МЕТР = ГРАММ.
При сложении двух четырёхзначных чисел получили пятизначное число, значит, Г = 1, М > 4.
Методом перебора находим, что Р = 3.
Тогда, М = 6, Т = 8.
Остались цифры: 2, 4, 5, 7, 9.
Значит, Е = 7, тогда А = 5.

\[
\begin{array}{r}
6\ 7\ 8\ 3 \\
+ 6\ 7\ 8\ 3 \\
\hline
1\ 3\ 5\ 6\ 6 \\
\end{array}
\]

Ответ: М = 6, Е = 7, Т = 8, Р = 3, Г = 1, А = 5.

г) КОКА + КОЛА = ВОДА.
При сложении двух четырёхзначных чисел получили четырёхзначное число, значит, К < 5.
Видим, что А + А = А. Такое возможно только при А = 0.
Так как О + О = О, и О не может быть равно 0 (потому что А = 0), то О = 9, при этом 10 < К + Л < 20.
Остались цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Так как К + Л > 10 и К < 5, то К = 4 или К = 3.
К = 4 не подходит (при подстановке окажется, что В = 9).
Если К = 3, то Л = 8, Д = 1, В = 7.

\[
\begin{array}{r}
3\ 9\ 3\ 0 \\
+ 3\ 9\ 8\ 0 \\
\hline
7\ 9\ 1\ 0 \\
\end{array}
\]

Ответ: К = 3, О = 9, А = 0, Л = 8, В = 7, Д = 1.

д) РЕ · ШЕ = НИЕ.
Так как Е · Е = Е, то Е = 1, Е = 5 или Е = 6.
Тогда:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{r}
2\ 1 \\
\times 3\ 1 \\
\hline
6\ 3 \\
6\ 5\ 1 \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
2\ 1 \\
\times 4\ 1 \\
\hline
8\ 4 \\
8\ 6\ 1 \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
1\ 5 \\
\times 2\ 5 \\
\hline
7\ 5 \\
3\ 7\ 5 \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
1\ 5 \\
\times 4\ 5 \\
\hline
7\ 5 \\
6\ 7\ 5 \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
1\ 5 \\
\times 6\ 5 \\
\hline
7\ 5 \\
9\ 7\ 5 \\
\end{array}
\\
\begin{array}{r}
2\ 5 \\
\times 3\ 5 \\
\hline
1\ 2\ 5 \\
7\ 5 \\
\hline
8\ 7\ 5 \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
1\ 6 \\
\times 3\ 6 \\
\hline
9\ 6 \\
4\ 8 \\
\hline
5\ 7\ 6 \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
1\ 6 \\
\times 4\ 6 \\
\hline
9\ 6 \\
6\ 4 \\
\hline
7\ 3\ 6 \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
1\ 6 \\
\times 5\ 6 \\
\hline
9\ 6 \\
8\ 0 \\
\hline
8\ 9\ 6 \\
\end{array}
\end{array}
\]

е) ТР^И = ИКС.
Двузначное число в некоторой степени даёт трёхзначное число только если степень равна 2.
Значит, И = 2.
Проверяем:
14² = 196 → не подходит;
15² = 225 → не подходит;
16² = 256 → не подходит;
17² = 289 → подходит;
18² = 324 → не подходит.
Ответ: Т = 1, Р = 7, И = 2, К = 8, С = 9.

а) ОДИН + ОДИН = МНОГО

При сложении двух четырёхзначных чисел получается пятизначное, значит, в старшем разряде возникает перенос, и поэтому \(M = 1\).
Рассмотрим разряд единиц: \(N + N = O\) или \(N + N = O + 10\). Это можно записать как
\[
2N = O + 10p_1, \quad p_1 \in \{0, 1\}.
\]

Из разряда тысяч: \(O + O + p_3 = N + 10\), так как результат — пятизначное число.
Подбор показывает, что при \(N = 3\) получаем \(O = 6\), \(p_1 = 0\), \(p_3 = 1\).

Из разряда сотен: \(2D + p_2 = O + 10p_3 = 6 + 10 = 16\), откуда \(D = 8\), \(p_2 = 0\).

Из разряда десятков: \(2I + p_1 = G\), при \(p_1 = 0\) и свободных цифрах получаем \(I = 2\), \(G = 4\).

Проверка:

\[
\begin{array}{r}
6\ 8\ 2\ 3 \\
+ 6\ 8\ 2\ 3 \\
\hline
1\ 3\ 6\ 4\ 6 \\
\end{array}
\]

Все буквы заменены на разные цифры, равенство верно.

Ответ:
\(M = 1\), \(N = 3\), \(O = 6\), \(D = 8\), \(I = 2\), \(G = 4\).

б) УДАР + УДАР = ДРАКА

Сумма двух четырёхзначных чисел — пятизначное число, следовательно, \(D = 1\).

Запишем разрядные уравнения:

— Единицы: \(2R = A + 10p_1\);
— Десятки: \(2A + p_1 = K + 10p_2\);
— Сотни: \(2 + p_2 = A\) (так как \(D = 1\), и \(1 + 1 + p_2 = A + 10p_3\), но \(p_3 = 0\));
— Тысячи: \(2U = R + 10\).

Из уравнения сотен: \(A = 2 + p_2\), значит \(A = 2\) или \(3\).

Пусть \(A = 2\) → \(p_2 = 0\).
Тогда из единиц: \(2R = 2 + 10p_1\). При \(p_1 = 1\) получаем \(2R = 12\) → \(R = 6\).
Из тысяч: \(2U = 6 + 10 = 16\) → \(U = 8\).
Из десятков: \(2 \cdot 2 + 1 = 5 = K\).

Все цифры: \(U = 8\), \(D = 1\), \(A = 2\), \(R = 6\), \(K = 5\) — различны.

Проверка:

\[
\begin{array}{r}
8\ 1\ 2\ 6 \\
+ 8\ 1\ 2\ 6 \\
\hline
1\ 6\ 2\ 5\ 2 \\
\end{array}
\]

Равенство верно.

Ответ: \(U = 8\), \(D = 1\), \(A = 2\), \(R = 6\), \(K = 5\).

в) МЕТР + МЕТР = ГРАММ

Сложение двух четырёхзначных чисел даёт пятизначный результат, следовательно, в старшем разряде возникает перенос, и первая цифра суммы — это 1, то есть \(Г = 1\).

Запишем сложение в столбик:

\[
\begin{array}{r}
М\ Е\ Т\ Р \\
+ М\ Е\ Т\ Р \\
\hline
Г\ Р\ А\ М\ М \\
\end{array}
\]

Подставим \(Г = 1\):

\[
\begin{array}{r}
М\ Е\ Т\ Р \\
+ М\ Е\ Т\ Р \\
\hline
1\ Р\ А\ М\ М \\
\end{array}
\]

Рассмотрим разряды справа налево, вводя переносы \(p_1, p_2, p_3, p_4\) (из единиц в десятки, из десятков в сотни и т.д.).

Разряд единиц:
\(Р + Р = М + 10p_1\) → \(\displaystyle 2Р = М + 10p_1\) (1)

Разряд десятков:
\(Т + Т + p_1 = М + 10p_2\) → \(\displaystyle 2Т + p_1 = М + 10p_2\) (2)

Разряд сотен:
\(Е + Е + p_2 = А + 10p_3\) → \(\displaystyle 2Е + p_2 = А + 10p_3\) (3)

Разряд тысяч:
\(М + М + p_3 = Р + 10p_4\) → \(\displaystyle 2М + p_3 = Р + 10p_4\) (4)

Разряд десятков тысяч:
Перенос \(p_4 = Г = 1\).

Из (4): \(\displaystyle 2М + p_3 = Р + 10\).

Поскольку \(М\) — первая цифра четырёхзначного числа, \(М \geq 1\), и так как \(2М + p_3 \leq 2\cdot9 + 1 = 19\), то \(Р = 2М + p_3 — 10 \leq 9\), откуда \(М \geq 5\).
Таким образом, \(М > 4\), как указано в условии.

Методом перебора возможных значений (учитывая, что все буквы — разные цифры), подбираем \(Р = 3\).

Тогда из (1): \(\displaystyle 2\cdot3 = М + 10p_1\) → \(6 = М + 10p_1\).

Возможен только \(p_1 = 0\), тогда \(М = 6\).

Из (4): \(\displaystyle 2\cdot6 + p_3 = 3 + 10\) → \(12 + p_3 = 13\) → \(p_3 = 1\).

Из (2): \(\displaystyle 2Т + 0 = 6 + 10p_2\) → \(2Т = 6 + 10p_2\).

Если \(p_2 = 1\), то \(2Т = 16\) → \(Т = 8\).
Если \(p_2 = 0\), то \(Т = 3\), но \(Р = 3\) — конфликт.
Значит, \(Т = 8\), \(p_2 = 1\).

Из (3): \(\displaystyle 2Е + 1 = А + 10p_3 = А + 10\) (так как \(p_3 = 1\)) → \(2Е = А + 9\).

Оставшиеся свободные цифры: \(0, 2, 4, 5, 7, 9\) (использованы: \(М=6, Т=8, Р=3, Г=1\)).

Подберём \(Е\) так, чтобы \(А = 2Е — 9\) была цифрой и не совпадала с уже использованными.

При \(Е = 7\): \(А = 2\cdot7 — 9 = 14 — 9 = 5\) — свободно.

Проверим:

\[
\begin{array}{r}
6\ 7\ 8\ 3 \\
+ 6\ 7\ 8\ 3 \\
\hline
1\ 3\ 5\ 6\ 6 \\
\end{array}
\]

Результат: ГРАММ = 1 3 5 6 6 — совпадает.
Все буквы — разные цифры.

Ответ: \(М = 6\), \(Е = 7\), \(Т = 8\), \(Р = 3\), \(Г = 1\), \(А = 5\).

г) КОКА + КОЛА = ВОДА

Сложение двух четырёхзначных чисел даёт четырёхзначное число, значит, переноса в пятый разряд нет, и \(К < 5\).

Запишем в столбик:

\[
\begin{array}{r}
К\ О\ К\ А \\
+ К\ О\ Л\ А \\
\hline
В\ О\ Д\ А \\
\end{array}
\]

Разряд единиц:
\(А + А = А + 10p_1\) → \(\displaystyle 2А = А + 10p_1\) → \(\displaystyle А = 10p_1\).

Так как \(А\) — цифра (0–9), то \(p_1 = 0\) → \(А = 0\).

Разряд десятков:
\(К + Л + p_1 = Д + 10p_2\) → \(\displaystyle К + Л = Д + 10p_2\) (1)

Разряд сотен:
\(О + О + p_2 = О + 10p_3\) → \(\displaystyle 2О + p_2 = О + 10p_3\) → \(\displaystyle О + p_2 = 10p_3\).

Поскольку \(О\) — цифра, возможны варианты:
— если \(p_3 = 0\), то \(О + p_2 = 0\) → \(О = 0\), но \(А = 0\) — конфликт;
— значит, \(p_3 = 1\), тогда \(О + p_2 = 10\).
Так как \(p_2 \leq 1\), то \(О = 9\) или \(О = 10\) (невозможно).
Следовательно, \(О = 9\), \(p_2 = 1\).

Разряд тысяч:
\(К + К + p_3 = В\) → \(\displaystyle 2К + 1 = В\) (2)

Из (1): \(К + Л = Д + 10p_2 = Д + 10\) (так как \(p_2 = 1\)) → \(К + Л > 10\).

Из (2): \(В = 2К + 1 < 10\) → \(2К < 9\) → \(К < 4{,}5\) → \(К \leq 4\).
Но так как \(К + Л > 10\) и \(Л \leq 9\), то \(К \geq 2\).

Возможные \(К = 2, 3, 4\).

Проверим:

— \(К = 4\): \(В = 2\cdot4 + 1 = 9\), но \(О = 9\) — конфликт.
— \(К = 3\): \(В = 2\cdot3 + 1 = 7\) — свободно.
— \(К = 2\): \(В = 5\), проверим далее.

Пусть \(К = 3\). Тогда из (1): \(3 + Л = Д + 10\) → \(Л = Д + 7\).
Возможные \(Д = 1\) → \(Л = 8\); \(Д = 2\) → \(Л = 9\) — но \(О = 9\), конфликт.

Берём \(Д = 1\), \(Л = 8\).

Использованы цифры: \(К=3, О=9, А=0, Л=8, Д=1, В=7\) — все разные.

Проверим сложение:

\[
\begin{array}{r}
3\ 9\ 3\ 0 \\
+ 3\ 9\ 8\ 0 \\
\hline
7\ 9\ 1\ 0 \\
\end{array}
\]

Результат: ВОДА = 7 9 1 0 — совпадает.

Ответ: \(К = 3\), \(О = 9\), \(А = 0\), \(Л = 8\), \(В = 7\), \(Д = 1\).