ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 8 Мордкович — Подробные Ответы

а) \(1 + (2 + 4x) + (8 + 16x) = 32\)
\[
11 + 20x = 32 \Rightarrow x = \frac{21}{20} = 1{,}05
\]

б) \(1 — (2 — 4x) — (8 — 16x) = 32\)
\[
-9 + 20x = 32 \Rightarrow x = \frac{41}{20} = 2{,}05
\]

в) \(1 + (2 + x) + (3 + x) + \dots + (10 + x) = 91\)
Сумма чисел от 2 до 10: 54; слагаемых с \(x\): 9 →
\[
1 + 54 + 9x = 91 \Rightarrow x = 4
\]

г) \(1 + (1 + x) + (1 + 2x) + \dots + (1 + 10x) = 121\)
Сумма 11 единиц: 11; сумма коэффициентов при \(x\): \(0+1+2+\dots+10 = 55\) →
\[
11 + 55x = 121 \Rightarrow x = 2
\]

д) \(1 — (2 — (3 — (4 — \dots — (10 — x)\dots)) = 10\)
Раскрываем скобки изнутри:
\[
x — 5 = 10 \Rightarrow x = 15
\]

е) \(1 — (2 — (3 — (4 — \dots — (10 — x)\dots)) = 2 — (3 — (4 — \dots — (10 — x)\dots)\)
Обозначим внутреннее выражение как \(B\). Тогда:

\[
B — 1 = 2 — B \Rightarrow B = \frac{3}{2}
\]

Раскрывая скобки:
\[
-4 + x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{11}{2} = 5{,}5
\]

а) \(1 + (2 + 4x) + (8 + 16x) = 32\)

Раскроем скобки (они не меняют знаков):

\[
1 + 2 + 4x + 8 + 16x = 32
\]

Сгруппируем числа и слагаемые с \(x\):

\[
(1 + 2 + 8) + (4x + 16x) = 32
\]

\[
11 + 20x = 32
\]

Перенесём 11 вправо:

\[
20x = 32 — 11
\]

\[
20x = 21
\]

Разделим на 20:

\[
x = \frac{21}{20} = 1{,}05
\]

б) \(1 — (2 — 4x) — (8 — 16x) = 32\)

Раскроем скобки, меняя знаки внутри из-за минуса перед скобкой:

\[
1 — 2 + 4x — 8 + 16x = 32
\]

Упростим:

\[
(1 — 2 — 8) + (4x + 16x) = 32
\]

\[
-9 + 20x = 32
\]

Переносим \(-9\):

\[
20x = 32 + 9
\]

\[
20x = 41
\]

\[
x = \frac{41}{20} = 2{,}05
\]

в) \(1 + (2 + x) + (3 + x) + \dots + (10 + x) = 91\)

Заметим, что после первой единицы идут слагаемые от \(2 + x\) до \(10 + x\) — всего 9 таких скобок (от 2 до 10 включительно).

Запишем сумму:

\[
1 + \sum_{k=2}^{10} (k + x) = 91
\]

Разделим сумму:

\[
1 + \sum_{k=2}^{10} k + \sum_{k=2}^{10} x = 91
\]

Сумма чисел от 2 до 10:
\[
2 + 3 + \dots + 10 = (1 + 2 + \dots + 10) — 1 = \frac{10 \cdot 11}{2} — 1 = 55 — 1 = 54
\]

Сумма \(x\) девять раз: \(9x\)

Тогда:

\[
1 + 54 + 9x = 91
\]

\[
55 + 9x = 91
\]

\[
9x = 36
\]

\[
x = 4
\]

г) \(1 + (1 + x) + (1 + 2x) + \dots + (1 + 10x) = 121\)

Сколько слагаемых? От \(1\) (первое) и затем от \(1 + x\) до \(1 + 10x\) — это 11 слагаемых:
— первое: \(1\)
— остальные: \(1 + kx\), где \(k = 1, 2, \dots, 10\) — всего 10 штук.

Но удобнее считать все 11 слагаемых как:
\[
(1 + 0x) + (1 + 1x) + (1 + 2x) + \dots + (1 + 10x)
\]

Тогда сумма:

\[
\sum_{k=0}^{10} (1 + kx) = \sum_{k=0}^{10} 1 + x \sum_{k=0}^{10} k = 11 \cdot 1 + x \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}
\]

(поскольку сумма от 0 до 10 такая же, как от 1 до 10)

\[
= 11 + x \cdot 55
\]

Приравниваем к 121:

\[
11 + 55x = 121
\]

\[
55x = 110
\]

\[
x = 2
\]

д) \(1 — (2 — (3 — (4 — \dots — (10 — x)\dots)) = 10\)

Это вложенное выражение с чередующимися скобками. Раскроем его изнутри наружу.

Обозначим:

\[
A_{10} = 10 — x
\]

\[
A_9 = 9 — A_{10} = 9 — (10 — x) = 9 — 10 + x = -1 + x
\]

\[
A_8 = 8 — A_9 = 8 — (-1 + x) = 8 + 1 — x = 9 — x
\]

\[
A_7 = 7 — A_8 = 7 — (9 — x) = 7 — 9 + x = -2 + x
\]

\[
A_6 = 6 — A_7 = 6 — (-2 + x) = 8 — x
\]

\[
A_5 = 5 — A_6 = 5 — (8 — x) = -3 + x
\]

\[
A_4 = 4 — A_5 = 4 — (-3 + x) = 7 — x
\]

\[
A_3 = 3 — A_4 = 3 — (7 — x) = -4 + x
\]

\[
A_2 = 2 — A_3 = 2 — (-4 + x) = 6 — x
\]

\[
A_1 = 1 — A_2 = 1 — (6 — x) = -5 + x
\]

Именно \(A_1\) — левая часть уравнения. Приравниваем к 10:

\[
-5 + x = 10
\]

\[
x = 15
\]

е)
\[
1 — (2 — (3 — (4 — \dots — (10 — x)\dots)) = 2 — (3 — (4 — \dots — (10 — x)\dots)
\]

Обозначим внутреннее выражение (начиная с 3):

\[
B = 3 — (4 — (5 — \dots — (10 — x)\dots))
\]

Тогда левая часть: \(1 — (2 — B) = 1 — 2 + B = B — 1\)
Правая часть: \(2 — B\)

Получаем уравнение:

\[
B — 1 = 2 — B
\]

Переносим:

\[
B + B = 2 + 1
\]

\[
2B = 3
\]

\[
B = \frac{3}{2}
\]

Теперь найдём \(x\), зная, что:

\[
B = 3 — (4 — (5 — (6 — (7 — (8 — (9 — (10 — x)))))))
\]

Раскроем изнутри, как в пункте (д), но начиная с 10 и до 3.

Пусть:

\[
C_{10} = 10 — x
\]

\[
C_9 = 9 — C_{10} = 9 — (10 — x) = -1 + x
\]

\[
C_8 = 8 — C_9 = 8 — (-1 + x) = 9 — x
\]

\[
C_7 = 7 — C_8 = 7 — (9 — x) = -2 + x
\]

\[
C_6 = 6 — C_7 = 6 — (-2 + x) = 8 — x
\]

\[
C_5 = 5 — C_6 = 5 — (8 — x) = -3 + x
\]

\[
C_4 = 4 — C_5 = 4 — (-3 + x) = 7 — x
\]

\[
C_3 = 3 — C_4 = 3 — (7 — x) = -4 + x
\]

Но по определению \(B = C_3\), значит:

\[
-4 + x = \frac{3}{2}
\]

\[
x = \frac{3}{2} + 4 = \frac{3}{2} + \frac{8}{2} = \frac{11}{2} = 5{,}5
\]