Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Дополнительная Задача 9 Мордкович — Подробные Ответы
а)\( 2^{3n} = 4^{n+7} \)
г)\( 4^x \cdot \frac{5^{2x-7}}{2^7} = 1000 \)
б)\( 2^{k+13} = 32 \cdot 8^k \)
д)\( \frac{5^{2x-1}}{4^{2x}} = 7\frac{13}{16} : 16 \)
в)\( \frac{4^x \cdot 3^{2x}}{6^3} = 216 \)
е)\( \frac{2^{2m-1}}{3^{m-1}} = 4 + \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 \)
а)
\[
2^{3n} = (2^{2})^{n+7} = 2^{2n + 14}
\]
\[
3n = 2n + 14
\]
\[
n = 14
\]
г)
\[
4^{x} \cdot \frac{5^{2x — 7}}{2^{7}} = \frac{(2^{2})^{x} \cdot 5^{2x — 7}}{2^{7}} = \frac{2^{2x} \cdot 5^{2x — 7}}{2^{7}}\]
\[= 2^{2x — 7} \cdot 5^{2x — 7} = (2 \cdot 5)^{2x — 7} = 10^{2x — 7}
\]
\[
10^{2x — 7} = 1000 = 10^{3}
\]
\[
2x — 7 = 3
\]
\[
x = 5
\]
б)
\[
2^{k + 13} = 32 \cdot 8^{k} = 2^{5} \cdot (2^{3})^{k} = 2^{5 + 3k}
\]
\[
k + 13 = 5 + 3k
\]
\[
8 = 2k
\]
\[
k = 4
\]
д)
\[
\frac{5^{2x — 1}}{4^{2x}} = \frac{125}{16} : 16 = \frac{125}{256}
\]
\[
\frac{5^{2x — 1}}{(2^{2})^{2x}} = \frac{5^{2x — 1}}{2^{4x}} = \frac{125}{256} = \frac{5^{3}}{2^{8}}
\]
\[
2x — 1 = 3,\quad 4x = 8
\]
\[
x = 2
\]
в)
\[
\frac{4^{x} \cdot 3^{2x}}{6^{3}} = \frac{(2^{2})^{x} \cdot (3^{2})^{x}}{(2 \cdot 3)^{3}} = \frac{2^{2x} \cdot 3^{2x}}{2^{3} \cdot 3^{3}}\]
\[= 2^{2x — 3} \cdot 3^{2x — 3} = (2 \cdot 3)^{2x — 3} = 6^{2x — 3}
\]
\[
6^{2x — 3} = 216 = 6^{3}
\]
\[
2x — 3 = 3
\]
\[
x = 3
\]
е)
\[
4 + \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^{2} + \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = 4 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{8}{27}\]
\[= \frac{108 + 9 + 3 + 8}{27} = \frac{128}{27}
\]
\[
\frac{2^{2m — 1}}{3^{m — 1}} = \frac{128}{27} = \frac{2^{7}}{3^{3}}
\]
\[
2m — 1 = 7,\quad m — 1 = 3
\]
\[
m = 4
\]
а)
\[
2^{3n} = 4^{n+7}
\]
Представим правую часть с основанием 2. Так как \(4 = 2^{2}\), получаем:
\[
4^{n+7} = (2^{2})^{n+7} = 2^{2(n+7)} = 2^{2n + 14}
\]
Теперь уравнение имеет вид:
\[
2^{3n} = 2^{2n + 14}
\]
Основания равны и больше 0, не равны 1, значит, показатели должны быть равны:
\[
3n = 2n + 14
\]
Переносим \(2n\) влево:
\[
3n — 2n = 14
\]
\[
n = 14
\]
б)
\[
2^{k+13} = 32 \cdot 8^{k}
\]
Выразим все числа как степени двойки:
\(32 = 2^{5}\), \(8 = 2^{3}\), значит \(8^{k} = (2^{3})^{k} = 2^{3k}\).
Подставляем:
\[
2^{k+13} = 2^{5} \cdot 2^{3k} = 2^{5 + 3k}
\]
Приравниваем показатели:
\[
k + 13 = 5 + 3k
\]
Переносим \(k\) и \(5\):
\[
13 — 5 = 3k — k
\]
\[
8 = 2k
\]
\[
k = 4
\]
в)
\[
\frac{4^{x} \cdot 3^{2x}}{6^{3}} = 216
\]
Представим все степени с простыми основаниями.
\(4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2x}\),
\(3^{2x} = (3^{2})^{x} = 9^{x}\) (но оставим как \(3^{2x}\)),
\(6^{3} = (2 \cdot 3)^{3} = 2^{3} \cdot 3^{3}\),
\(216 = 6^{3} = 2^{3} \cdot 3^{3}\).
Подставим в уравнение:
\[
\frac{2^{2x} \cdot 3^{2x}}{2^{3} \cdot 3^{3}} = 2^{3} \cdot 3^{3}
\]
Упростим левую часть, вычитая показатели:
\[
2^{2x — 3} \cdot 3^{2x — 3} = (2 \cdot 3)^{2x — 3} = 6^{2x — 3}
\]
Правая часть: \(216 = 6^{3}\).
Получаем:
\[
6^{2x — 3} = 6^{3}
\]
Приравниваем показатели:
\[
2x — 3 = 3
\]
\[
2x = 6
\]
\[
x = 3
\]
г)
\[
4^{x} \cdot \frac{5^{2x — 7}}{2^{7}} = 1000
\]
Представим \(4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2x}\). Тогда:
\[
\frac{2^{2x} \cdot 5^{2x — 7}}{2^{7}} = 2^{2x — 7} \cdot 5^{2x — 7} = (2 \cdot 5)^{2x — 7} = 10^{2x — 7}
\]
Правая часть: \(1000 = 10^{3}\).
Получаем:
\[
10^{2x — 7} = 10^{3}
\]
Приравниваем показатели:
\[
2x — 7 = 3
\]
\[
2x = 10
\]
\[
x = 5
\]
д)
\[
\frac{5^{2x — 1}}{4^{2x}} = 7\frac{13}{16} : 16
\]
Сначала упростим правую часть.
\(7\frac{13}{16} = \frac{7 \cdot 16 + 13}{16} = \frac{112 + 13}{16} = \frac{125}{16}\).
Тогда:
\[
\frac{125}{16} : 16 = \frac{125}{16 \cdot 16} = \frac{125}{256}
\]
Теперь левая часть: \(4^{2x} = (2^{2})^{2x} = 2^{4x}\), но удобнее оставить как \(4^{2x} = (2^{2})^{2x} = (2^{4})^{x}\), но лучше выразить через степени 2 и 5.
Заметим: \(\frac{125}{256} = \frac{5^{3}}{2^{8}} = \frac{5^{3}}{4^{4}}\), так как \(4^{4} = (2^{2})^{4} = 2^{8}\).
Теперь запишем уравнение:
\[
\frac{5^{2x — 1}}{4^{2x}} = \frac{5^{3}}{4^{4}}
\]
Поскольку основания в числителях и знаменателях совпадают и положительны, приравниваем показатели:
Для основания 5:
\[
2x — 1 = 3
\]
Для основания 4:
\[
2x = 4
\]
Оба дают \(x = 2\). Проверка:
Левая часть: \(5^{3} / 4^{4} = 125 / 256\) — совпадает.
\[
x = 2
\]
е)
\[
\frac{2^{2m — 1}}{3^{m — 1}} = 4 + \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^{2} + \left(\frac{2}{3}\right)^{3}
\]
Вычислим правую часть пошагово.
\[
\left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}, \quad \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{27}
\]
Приведём все слагаемые к общему знаменателю 27:
\[
4 = \frac{108}{27}, \quad \frac{1}{3} = \frac{9}{27}, \quad \frac{1}{9} = \frac{3}{27}, \quad \frac{8}{27} = \frac{8}{27}
\]
Сумма:
\[
\frac{108 + 9 + 3 + 8}{27} = \frac{128}{27}
\]
Теперь разложим \(\frac{128}{27}\) на простые множители:
\[
128 = 2^{7}, \quad 27 = 3^{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{128}{27} = \frac{2^{7}}{3^{3}}
\]
Левая часть уравнения:
\[
\frac{2^{2m — 1}}{3^{m — 1}}
\]
Приравниваем к \(\frac{2^{7}}{3^{3}}\):
\[
2^{2m — 1} = 2^{7} \quad \Rightarrow \quad 2m — 1 = 7 \quad \Rightarrow \quad m = 4
\]
\[
3^{m — 1} = 3^{3} \quad \Rightarrow \quad m — 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad m = 4
\]
Оба условия дают одно и то же значение.
\[
m = 4
\]
