ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 1 Тест Мордкович — Подробные Ответы

1. Установите соответствие между числовым выражением и его значением.
А. \(24 \cdot \left( \frac{2}{3} — \frac{5}{8} \right)\)
Б. \(-5{,}8 \cdot 1{,}25 — 1{,}25 \cdot 2{,}2\)
В. \(-4{,}7 + 5{,}9 — 7{,}3 + 5{,}1\)

2. Дано алгебраическое выражение \(\frac{10xy}{2x + 5y}\). Укажите допустимые пары значений переменных \(x\) и \(y\).
а) \(x = -4,\ y = 1{,}6\)
б) \(x = -1,\ y = -0{,}4\)
в) \(x = -1,\ y = 0\)
г) \(x = 0{,}5,\ y = -0{,}2\)

3. В каком из перечисленных случаев алгебраическое выражение прочитано неверно?
1) \(3mn\) — «утроенное произведение \(m\) и \(n\)»
2) \(m^3 + n^3\) — «куб суммы \(m\) и \(n\)»
3) \((m — n)^2\) — «квадрат разности \(m\) и \(n\)»
4) \(|m| — |n|\) — «разность модулей \(m\) и \(n\)»

4. Какое уравнение является математической моделью ситуации:
«Теплоход идёт со скоростью \(x\) км/ч. Его скорость на 12 км/ч больше скорости катера. За 5 ч катер прошёл такое же расстояние, как и теплоход за 3 ч»?
а) \(3x = 5(x — 12)\)
б) \(5x = 3(x — 12)\)
в) \(5x = 3(x + 12)\)
г) \(3x = 5(x + 12)\)

5. Решите уравнение:
\[
9x — 23 = 19 + 16x
\]

6. Найдите расстояние между точками \(P(123)\) и \(Q(-23)\):
\[
\rho(P; Q) = |123 — (-23)|
\]

7. Укажите неравенство, соответствующее числовому промежутку на рисунке:
а) \(x > -4\)
б) \(x < -4\)
в) \(x \ge -4\)
г) \(x \le -4\)

8. Установите соответствие:
А. \(x^7 \cdot x^3 \cdot x\)
Б. \((x^3)^7 : x\)
В. \((x \cdot x^7)^3\)

Возможные значения:
1) \(x^{20}\)
2) \(x^{21}\)
3) \(x^{11}\)
4) \(x^{24}\)

9. Вычислите:
\[
\frac{(2^3)^2 \cdot 5^4}{10^3}
\]

10. Найдите значение параметра \(p\), при котором уравнение
\[
p(p — 4)x = p^2 — 16
\]

не имеет корней.

№ 1.
А. \(24 \cdot \left(\frac{2}{3} — \frac{5}{8}\right) = 24 \cdot \frac{2}{3} — 24 \cdot \frac{5}{8} = 8 \cdot 2 — 3 \cdot 5 = 16 — 15 = 1\).
Б. \(-5{,}8 \cdot 1{,}25 — 1{,}25 \cdot 2{,}2 = 1{,}25 \cdot (-5{,}8 — 2{,}2) = 1{,}25 \cdot (-8) = -10\).
В. \(-4{,}7 + 5{,}9 — 7{,}3 + 5{,}1 = (-4{,}7 — 7{,}3) + (5{,}9 + 5{,}1) = -12 + 11 = -1\).
Соответствие: А — 2; Б — 1; В — 3.

№ 2.
а) При \(x = -4\), \(y = 1{,}6\): знаменатель обращается в ноль, выражение не определено.
б) При \(x = -1\), \(y = -0{,}4\): значение выражения равно \(-1\).
в) При \(x = -1\), \(y = 0\): значение выражения равно \(0\).
г) При \(x = 0{,}5\), \(y = -0{,}2\): знаменатель равен нулю, выражение не имеет смысла.
Подходят случаи: б) и в).

№ 3.
Неверное прочтение алгебраического выражения дано во втором варианте.
Правильный номер: 2.

№ 4.
Скорость катера на 12 км/ч меньше скорости теплохода, то есть равна \((x — 12)\) км/ч.
За 5 часов катер проходит \(5(x — 12)\) км, а теплоход за 3 часа — \(3x\) км.
Поскольку пройденные расстояния равны, составляем уравнение: \(5(x — 12) = 3x\).
Верный ответ: а).

№ 5.
\[
9x — 23 = 19 + 16x
\]
Переносим слагаемые с переменной влево, числа — вправо:
\[
9x — 16x = 19 + 23
\]
\[
-7x = 42
\]
Делим обе части на \(-7\):
\[
x = -6
\]
Ответ: \(x = -6\).

№ 6.
Расстояние между точками с координатами \(123\) и \(-23\) равно модулю их разности:
\[
PQ = |123 — (-23)| = |123 + 23| = |146| = 146
\]
Ответ: 146.

№ 7.
Неравенству \(x \le -4\) соответствует числовой промежуток, изображённый на рисунке под буквой г).
Ответ: г).

№ 8.
А. \(x^7 \cdot x^3 \cdot x = x^{7+3+1} = x^{11}\);
Б. \((x^3)^7 : x = x^{21} : x = x^{20}\);
В. \((x \cdot x^7)^3 = (x^8)^3 = x^{24}\).
Соответствие: А — 3; Б — 1; В — 4.
Ответ: А — 3; Б — 1; В — 4.

№ 9.
\[
\frac{(2^3)^2 \cdot 5^4}{10^3} = \frac{2^6 \cdot 5^4}{(2 \cdot 5)^3} = \frac{2^6 \cdot 5^4}{2^3 \cdot 5^3} = 2^{6-3} \cdot 5^{4-3} = 2^3 \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40
\]
Ответ: 40.

№ 10.
Уравнение \(ax = b\) не имеет решений, если \(a = 0\), а \(b \ne 0\).
В уравнении \(p(p — 4)x = p^2 — 16\) это происходит, когда:

\[
p(p — 4) = 0 \quad \text{и} \quad p^2 — 16 \ne 0.
\]

Из первого условия: \(p = 0\) или \(p = 4\).
Из второго: \(p \ne 4\) и \(p \ne -4\).
Общее решение: \(p = 0\).
Ответ: при \(p = 0\).

№ 1.
Рассмотрим каждое вычисление отдельно.

А. Выполним действия в скобках, применив распределительное свойство умножения:

\[
24 \cdot \left(\frac{2}{3} — \frac{5}{8}\right) = 24 \cdot \frac{2}{3} — 24 \cdot \frac{5}{8}
\]

Вычислим каждое произведение:
\(24 \cdot \frac{2}{3} = 8 \cdot 2 = 16\),
\(24 \cdot \frac{5}{8} = 3 \cdot 5 = 15\).
Тогда разность: \(16 — 15 = 1\).

Б. Вынесем общий множитель \(1{,}25\) за скобки:

\[
-5{,}8 \cdot 1{,}25 — 1{,}25 \cdot 2{,}2 = 1{,}25 \cdot (-5{,}8 — 2{,}2) = 1{,}25 \cdot (-8)
\]

Поскольку \(1{,}25 \cdot 8 = 10\), получаем: \(1{,}25 \cdot (-8) = -10\).

В. Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

\[
(-4{,}7 — 7{,}3) + (5{,}9 + 5{,}1) = -12 + 11 = -1
\]

Сопоставляя полученные результаты с предложенными вариантами, устанавливаем соответствие:
А — 2; Б — 1; В — 3.

№ 2.
Рассмотрим алгебраическое выражение \(\frac{10xy}{2x + 5y}\). Оно имеет смысл только тогда, когда знаменатель не равен нулю.

а) При \(x = -4\), \(y = 1{,}6\):
Знаменатель: \(2 \cdot (-4) + 5 \cdot 1{,}6 = -8 + 8 = 0\).
Деление на ноль невозможно — выражение не имеет смысла.

б) При \(x = -1\), \(y = -0{,}4\):
Числитель: \(10 \cdot (-1) \cdot (-0{,}4) = 4\).
Знаменатель: \(2 \cdot (-1) + 5 \cdot (-0{,}4) = -2 — 2 = -4\).
Значение: \(\frac{4}{-4} = -1\).

в) При \(x = -1\), \(y = 0\):
Числитель: \(10 \cdot (-1) \cdot 0 = 0\).
Знаменатель: \(2 \cdot (-1) + 5 \cdot 0 = -2\).
Значение: \(\frac{0}{-2} = 0\).

г) При \(x = 0{,}5\), \(y = -0{,}2\):
Знаменатель: \(2 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot (-0{,}2) = 1 — 1 = 0\).
Выражение не имеет смысла.

Следовательно, выражение имеет числовое значение только в случаях б) и в).

№ 3.
В задании предлагается несколько формулировок одного и того же алгебраического выражения. При внимательном сравнении видно, что во втором варианте нарушена логика чтения: порядок действий или смысл операций передан неверно.
Поэтому правильный выбор — вариант 2.

№ 4.
Пусть скорость теплохода равна \(x\) км/ч. Тогда скорость катера, которая на 12 км/ч меньше, составляет \((x — 12)\) км/ч.

За 5 часов катер пройдёт расстояние: \(5(x — 12)\) км.
За 3 часа теплоход пройдёт: \(3x\) км.

По условию, расстояния равны, поэтому справедливо уравнение:

\[
5(x — 12) = 3x
\]

Среди предложенных вариантов именно а) соответствует составленному уравнению.

№ 5.
Рассмотрим уравнение:

\[
9x — 23 = 19 + 16x
\]

Для решения перенесём все слагаемые, содержащие переменную \(x\), в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую часть, не забывая менять знаки при переносе:

\[
9x — 16x = 19 + 23
\]

Выполним вычисления в обеих частях:
\[
-7x = 42
\]

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на \(-7\):

\[
x = \frac{42}{-7} = -6
\]

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: \(x = -6\).

№ 6.
Найдём расстояние между двумя точками на координатной прямой с координатами \(123\) и \(-23\).
По формуле расстояния:

\[
PQ = |x_1 — x_2| = |123 — (-23)|
\]

Выполним вычитание в скобках:

\[
123 — (-23) = 123 + 23 = 146
\]

Модуль положительного числа равен самому числу:

\[
|146| = 146
\]

Следовательно, расстояние между точками равно 146 единичных отрезков.
Ответ: 146.

№ 7.
На рисунке изображён числовой промежуток, который включает все числа, меньшие или равные \(-4\). Такой промежуток записывается как \((-\infty; -4]\) и соответствует неравенству \(x \le -4\).
Среди предложенных вариантов этому описанию соответствует рисунок под буквой г).
Ответ: г).

№ 8.
Упростим каждое выражение, используя свойства степеней:

А. \(x^7 \cdot x^3 \cdot x = x^{7 + 3 + 1} = x^{11}\).
Это соответствует варианту 3.

Б. \((x^3)^7 : x = x^{3 \cdot 7} : x = x^{21} : x^1 = x^{21 — 1} = x^{20}\).
Это соответствует варианту 1.

В. \((x \cdot x^7)^3 = (x^{1 + 7})^3 = (x^8)^3 = x^{8 \cdot 3} = x^{24}\).
Это соответствует варианту 4.

Таким образом, правильное соответствие:
А — 3; Б — 1; В — 4.
Ответ: А — 3; Б — 1; В — 4.

№ 9.
Вычислим значение выражения:

\[
\frac{(2^3)^2 \cdot 5^4}{10^3}
\]

Сначала упростим числитель: \((2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6\).
В знаменателе: \(10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3\).
Подставим:

\[
\frac{2^6 \cdot 5^4}{2^3 \cdot 5^3}
\]

Применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

\[
2^{6 — 3} \cdot 5^{4 — 3} = 2^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 5 = 40
\]

Ответ: 40.

№ 10.
Линейное уравнение вида \(ax = b\) не имеет корней тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной равен нулю, а правая часть — не ноль: \(a = 0\) и \(b \ne 0\).

Рассмотрим уравнение:
\[
p(p — 4)x = p^2 — 16
\]
Здесь \(a = p(p — 4)\), \(b = p^2 — 16\).

Потребуем:
1) \(p(p — 4) = 0\) → \(p = 0\) или \(p = 4\);
2) \(p^2 — 16 \ne 0\) → \(p^2 \ne 16\) → \(p \ne 4\) и \(p \ne -4\).

Объединяя условия, получаем: из первого — \(p = 0\) или \(p = 4\); из второго — \(p \ne 4\).
Следовательно, единственное подходящее значение — \(p = 0\).

При \(p = 0\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = -16\), то есть \(0 = -16\), что неверно, значит, корней нет.

Ответ: при \(p = 0\).