Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 2 Дополнительная задача 11 Мордкович — Подробные Ответы
Для линейного уравнения 3x + (а — 2)у = а + 2 с переменными х и у найдите значение а, при котором график этого уравнения: а) пройдёт через начало координат; б) будет параллелен оси ординат; в) будет параллелен оси абсцисс; г) пройдёт через точку (1; 0); д) пройдёт через точку (0; 2); е) не пройдёт через точку (1; 1)
Дано уравнение:
\[
3x + (a — 2)y = a + 2
\]
Приводим его к виду \( y = kx + m \):
\[
(a — 2)y = a + 2 — 3x
\]
\[
y = \frac{a + 2 — 3x}{a — 2}
\]
\[
y = \frac{a + 2}{a — 2} — \frac{3x}{a — 2}
\]
\[
y = -\frac{3x}{a — 2} + \frac{a + 2}{a — 2}
\]
Таким образом:
\[
k = -\frac{3}{a — 2}, \quad m = \frac{a + 2}{a — 2}
\]
а) График проходит через начало координат, значит \( m = 0 \).
\[
\frac{a + 2}{a — 2} = 0
\]
\[
a + 2 = 0
\]
\[
a = -2
\]
б) График параллелен оси ординат, если \( y = 0 \), т.е. коэффициент при \( y \) в исходном уравнении равен нулю.
\[
a — 2 = 0
\]
\[
a = 2
\]
в) График параллелен оси абсцисс, если \( k = 0 \), т.е. угловой коэффициент равен нулю.
\[
-\frac{3}{a — 2} = 0
\]
Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби (−3) не равен нулю.
Следовательно, таких \( a \) не существует.
г) График проходит через точку (1; 0):
Подставляем \( x = 1 \), \( y = 0 \) в исходное уравнение:
\[
3 \cdot 1 + (a — 2) \cdot 0 = a + 2
\]
\[
3 = a + 2
\]
\[
a = 1
\]
д) График проходит через точку (0; 2):
Подставляем \( x = 0 \), \( y = 2 \) в исходное уравнение:
\[
3 \cdot 0 + (a — 2) \cdot 2 = a + 2
\]
\[
2a — 4 = a + 2
\]
\[
2a — a = 2 + 4
\]
\[
a = 6
\]
е) График не проходит через точку (1; 1):
Подставляем \( x = 1 \), \( y = 1 \) в исходное уравнение:
\[
3 \cdot 1 + (a — 2) \cdot 1 \neq a + 2
\]
\[
3 + a — 2 \neq a + 2
\]
\[
a + 1 \neq a + 2
\]
\[
1 \neq 2
\]
Получили неравенство \( 1 \neq 2 \), которое верно при любом \( a \). Значит, условие выполняется для всех \( a \).
Дано линейное уравнение с параметром \(a\):
\[
3x + (a — 2)y = a + 2
\]
Необходимо найти значения \(a\), при которых прямая, заданная этим уравнением, удовлетворяет различным условиям.
Преобразуем уравнение к виду \(y = kx + m\)
Выразим \(y\) через \(x\):
\[
(a — 2)y = a + 2 — 3x
\]
\[
y = \frac{a + 2 — 3x}{a — 2}, \quad a \ne 2
\]
\[
y = -\frac{3}{a — 2}x + \frac{a + 2}{a — 2}
\]
Здесь:
— Угловой коэффициент: \(k = -\frac{3}{a — 2}\)
— Свободный член: \(m = \frac{a + 2}{a — 2}\)
а) График проходит через начало координат \((0, 0)\)
Условие: свободный член \(m = 0\).
\[
\frac{a + 2}{a — 2} = 0
\]
\[
a + 2 = 0 \quad \text{(знаменатель не равен нулю)}
\]
\[
a = -2
\]
При \(a = -2\) знаменатель \(a — 2 = -4 \ne 0\), решение корректно.
Ответ для пункта а: \(a = -2\).
б) График параллелен оси ординат
Прямая параллельна оси \(Oy\), если она вертикальна, т.е. коэффициент при \(y\) в исходном уравнении равен нулю, а при \(x\) — нет.
\[
a — 2 = 0
\]
\[
a = 2
\]
При \(a = 2\) исходное уравнение превращается в:
\[
3x + 0 \cdot y = 2 + 2 \quad\Rightarrow\quad 3x = 4 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{4}{3}
\]
Это вертикальная прямая.
Ответ для пункта б: \(a = 2\).
в) График параллелен оси абсцисс
Прямая горизонтальна, если угловой коэффициент \(k = 0\):
\[
-\frac{3}{a — 2} = 0
\]
Дробь равна нулю, только если числитель равен нулю при ненулевом знаменателе. Но числитель \(-3 \ne 0\).
Значит, таких \(a\) не существует.
Ответ для пункта в: таких значений \(a\) нет.
г) График проходит через точку \((1, 0)\)
Подставим \(x = 1\), \(y = 0\) в исходное уравнение:
\[
3 \cdot 1 + (a — 2) \cdot 0 = a + 2
\]
\[
3 = a + 2
\]
\[
a = 1
\]
Ответ для пункта г: \(a = 1\).
д) График проходит через точку \((0, 2)\)
Подставим \(x = 0\), \(y = 2\):
\[
3 \cdot 0 + (a — 2) \cdot 2 = a + 2
\]
\[
2a — 4 = a + 2
\]
\[
2a — a = 2 + 4
\]
\[
a = 6
\]
Ответ для пункта д: \(a = 6\).
е) График не проходит через точку \((1, 1)\)
Подставим \(x = 1\), \(y = 1\) в исходное уравнение и потребуем, чтобы равенство **не** выполнялось:
\[
3 \cdot 1 + (a — 2) \cdot 1 \neq a + 2
\]
\[
3 + a — 2 \neq a + 2
\]
\[
a + 1 \neq a + 2
\]
\[
1 \neq 2
\]
Полученное неравенство \(1 \ne 2\) верно всегда, независимо от \(a\). Значит, прямая никогда не проходит через точку \((1, 1)\) ни при каком \(a\).
Ответ для пункта е: \(a\) — любое число.
Итоговый ответ:
а) \(a = -2\)
б) \(a = 2\)
в) таких \(a\) не существует
г) \(a = 1\)
д) \(a = 6\)
е) \(a\) — любое числ
