Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 2 Дополнительная задача 13 Мордкович — Подробные Ответы
Для линейного уравнения (с + 1)х + (2 — 3с)у = 5с с переменными х и у найдите значение параметра с, при котором график этого уравнения: а) пройдёт через начало координат; б) не будет параллелен оси ординат; в) будет параллелен оси абсцисс; г) будет параллелен прямой у = х; д) будет параллелен прямой у = —х; е) совпадёт с графиком уравнения 4х + 3у = 5
Дано уравнение:
\[
(c+1)x + (2-3c)y = 5c
\]
Приведём его к виду \( y = kx + m \), выразив \( y \):
\[
(2-3c)y = 5c — (c+1)x
\]
\[
y = \frac{5c — (c+1)x}{2-3c}
\]
\[
y = -\frac{c+1}{2-3c}x + \frac{5c}{2-3c}
\]
Таким образом:
\[
k = -\frac{c+1}{2-3c}, \quad m = \frac{5c}{2-3c}.
\]
а) График проходит через начало координат, значит \( m = 0 \).
\[
\frac{5c}{2-3c} = 0
\]
\[
5c = 0
\]
\[
c = 0
\]
Ответ: \( c = 0 \).
б)График не параллелен оси ординат — это возможно, когда коэффициент при \( y \) в исходном уравнении не равен нулю, т.е. \( 2-3c \neq 0 \).
\[
2 — 3c \neq 0
\]
\[
3c \neq 2
\]
\[
c \neq \frac{2}{3}
\]
Ответ: \( c \neq \frac{2}{3} \).
в) График параллелен оси абсцисс, значит угловой коэффициент \( k = 0 \).
\[
-\frac{c+1}{2-3c} = 0
\]
\[
c+1 = 0
\]
\[
c = -1
\]
Ответ: \( c = -1 \).
г) График параллелен прямой \( y = x \), т.е. \( k = 1 \).
\[
-\frac{c+1}{2-3c} = 1
\]
\[
-(c+1) = 2-3c
\]
\[
-c — 1 = 2 — 3c
\]
\[
-c + 3c = 2 + 1
\]
\[
2c = 3
\]
\[
c = 1{,}5
\]
Ответ: \( c = 1{,}5 \).
д) График параллелен прямой \( y = -x \), т.е. \( k = -1 \).
\[
-\frac{c+1}{2-3c} = -1
\]
\[
-(c+1) = -(2-3c)
\]
\[
-c-1 = -2 + 3c
\]
\[
-c — 3c = -2 + 1
\]
\[
-4c = -1
\]
\[
c = \frac{1}{4} = 0{,}25
\]
Ответ: \( c = 0{,}25 \).
е) График совпадает с прямой \( 4x + 3y = 5 \).
Преобразуем это уравнение:
\[
4x + 3y = 5
\]
\[
3y = 5 — 4x
\]
\[
y = \frac{5}{3} — \frac{4}{3}x
\]
Отсюда \( k_2 = -\frac{4}{3} \), \( m_2 = \frac{5}{3} \).
Условие совпадения:
\[
-\frac{c+1}{2-3c} = -\frac{4}{3} \quad \text{и} \quad \frac{5c}{2-3c} = \frac{5}{3}.
\]
Решаем первое уравнение:
\[
\frac{c+1}{2-3c} = \frac{4}{3}
\]
\[
3(c+1) = 4(2-3c)
\]
\[
3c + 3 = 8 — 12c
\]
\[
3c + 12c = 8 — 3
\]
\[
15c = 5
\]
\[
c = \frac{1}{3}
\]
Проверим второе условие при \( c = \frac{1}{3} \):
\[
\frac{5c}{2-3c} = \frac{5 \cdot \frac{1}{3}}{2 — 3 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{2 — 1} = \frac{\frac{5}{3}}{1} = \frac{5}{3} = m_2
\]
Условие выполняется.
Ответ: \( c = \frac{1}{3} \).
Дано уравнение:
\[
(c + 1)x + (2 — 3c)y = 5c
\]
Мы можем записать его в виде линейной функции \( y = kx + m \), где \( k \) — угловой коэффициент, \( m \) — свободный член.
Для этого выразим \( y \):
\[
(2 — 3c)y = 5c — (c + 1)x
\]
\[
y = \frac{5c — (c + 1)x}{2 — 3c}
\]
\[
y = -\frac{c + 1}{2 — 3c}x + \frac{5c}{2 — 3c}
\]
Таким образом:
\[
k = -\frac{c + 1}{2 — 3c}, \quad m = \frac{5c}{2 — 3c}.
\]
а) График проходит через начало координат.
Если график функции проходит через начало координат, то свободный член \( m = 0 \).
\[
\frac{5c}{2 — 3c} = 0
\]
\[
5c = 0
\]
\[
c = 0
\]
Ответ: при \( c = 0 \).
б) График не параллелен оси ординат.
График не параллелен оси ординат, если уравнение можно записать в виде \( y = kx + m \), т.е. коэффициент при \( y \) не равен нулю.
\[
2 — 3c \neq 0
\]
\[
3c \neq 2
\]
\[
c \neq \frac{2}{3}
\]
Ответ: при \( c \neq \frac{2}{3} \).
в) График параллелен оси абсцисс.
График параллелен оси абсцисс, если угловой коэффициент \( k = 0 \), т.е. функция постоянна.
\[
-\frac{c + 1}{2 — 3c} = 0
\]
\[
c + 1 = 0
\]
\[
c = -1
\]
Ответ: при \( c = -1 \).
г) График параллелен прямой \( y = x \).
Прямая \( y = x \) имеет угловой коэффициент \( k_2 = 1 \).
Условие параллельности: \( k_1 = k_2 \).
\[
-\frac{c + 1}{2 — 3c} = 1
\]
\[
-(c + 1) = 2 — 3c
\]
\[
-c — 1 = 2 — 3c
\]
\[
-c + 3c = 2 + 1
\]
\[
2c = 3
\]
\[
c = 1,5
\]
Ответ: при \( c = 1,5 \).
д) График параллелен прямой \( y = -x \).
Прямая \( y = -x \) имеет угловой коэффициент \( k_2 = -1 \).
\[
-\frac{c + 1}{2 — 3c} = -1
\]
\[
-(c + 1) = -(2 — 3c)
\]
\[
-c — 1 = -2 + 3c
\]
\[
-c — 3c = -2 + 1
\]
\[
-4c = -1
\]
\[
c = \frac{1}{4} = 0,25
\]
Ответ: при \( c = 0,25 \).
) График совпадает с прямой \( 4x + 3y = 5 \).
Приведём уравнение прямой к виду \( y = kx + m \):
\[
4x + 3y = 5
\]
\[
3y = 5 — 4x
\]
\[
y = \frac{5}{3} — \frac{4}{3}x
\]
Отсюда \( k_2 = -\frac{4}{3} \), \( m_2 = \frac{5}{3} \).
Для совпадения прямых необходимо, чтобы совпадали и угловой коэффициент, и свободный член:
1) Условие равенства угловых коэффициентов:
\[
-\frac{c + 1}{2 — 3c} = -\frac{4}{3}
\]
\[
\frac{c + 1}{2 — 3c} = \frac{4}{3}
\]
\[
3(c + 1) = 4(2 — 3c)
\]
\[
3c + 3 = 8 — 12c
\]
\[
3c + 12c = 8 — 3
\]
\[
15c = 5
\]
\[
c = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}
\]
2) Проверим условие равенства свободных членов при \( c = \frac{1}{3} \):
\[
m_1 = \frac{5c}{2 — 3c} = \frac{5 \cdot \frac{1}{3}}{2 — 3 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{2 — 1} = \frac{5}{3} = m_2
\]
Условие выполняется.
Ответ: при \( c = \frac{1}{3} \).
Итоговый ответ:
а) \( c = 0 \);
б) \( c \neq \frac{2}{3} \);
в) \( c = -1 \);
г) \( c = 1,5 \);
д) \( c = 0,25 \);
е) \( c = \frac{1}{3} \).
