Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 2 Дополнительная задача 2 Мордкович — Подробные Ответы
Найдите число «граничных» квадратиков при: а) n = 3; в) n = 5; д) n = 100; б) n = 4; г) n = 10; е) произвольном n
а) При \( n = 3 \) весь квадрат состоит из \( 3^2 = 9 \) квадратиков.
Значит, «граничных» квадратиков будет:
\( 3^2 — 1 = 9 — 1 = 8 \), потому что один квадратик не граничит.
б) При \( n = 4 \) весь квадрат состоит из \( 4^2 = 16 \) квадратиков.
Значит, «граничных» квадратиков будет:
\( 4^2 — 2^2 = 16 — 4 = 12 \), потому что четыре квадратика не граничат.
в) При \( n = 5 \) весь квадрат состоит из \( 5^2 = 25 \) квадратиков.
Значит, «граничных» квадратиков будет:
\( 5^2 — 3^2 = 25 — 9 = 16 \), потому что девять квадратиков не граничат.
г) При \( n = 10 \) весь квадрат состоит из \( 10^2 = 100 \) квадратиков.
Значит, «граничных» квадратиков будет:
\( 10^2 — 8^2 = 100 — 64 = 36 \).
д) При \( n = 100 \) весь квадрат состоит из \( 100^2 \) квадратиков.
Значит, «граничных» квадратиков будет:
\( 100^2 — 98^2 = 10\,000 — 9604 = 396 \).
е) При произвольном \( n \), «граничных» квадратиков будет:
\[
n^2 — (n — 2)^2 = n^2 — (n^2 — 4n + 4) = n^2 — n^2 + 4n — 4 = 4n — 4 = 4(n — 1).
\]
Ответ: а) 8; б) 12; в) 16; г) 36; д) 396; е) \( 4(n — 1) \).
Рассматривается квадрат, разбитый на \( n \times n \) маленьких одинаковых квадратиков. «Граничными» считаются те квадратики, которые находятся на границе большого квадрата, то есть хотя бы одной стороной соприкасаются с его внешним краем. Требуется найти количество таких граничных квадратиков для различных значений \( n \).
а) При \( n = 3 \):
Всего квадратиков: \( 3^2 = 9 \).
Внутренняя часть (не граничащая с краем) — это центральный квадратик, всего один.
Следовательно, граничных квадратиков:
\[
3^2 — 1 = 9 — 1 = 8.
\]
б) При \( n = 4 \):
Всего квадратиков: \( 4^2 = 16 \).
Внутренняя часть — это квадрат \( 2 \times 2 \) (поскольку по краям остаётся по одному ряду), то есть \( 2^2 = 4 \) квадратика.
Граничных квадратиков:
\[
4^2 — 2^2 = 16 — 4 = 12.
\]
в) При \( n = 5 \):
Всего квадратиков: \( 5^2 = 25 \).
Внутренняя часть — квадрат \( 3 \times 3 = 9 \) квадратиков.
Граничных квадратиков:
\[
5^2 — 3^2 = 25 — 9 = 16.
\]
г) При \( n = 10 \):
Всего квадратиков: \( 10^2 = 100 \).
Внутренняя часть — квадрат \( 8 \times 8 = 64 \) квадратика.
Граничных квадратиков:
\[
10^2 — 8^2 = 100 — 64 = 36.
\]
д) При \( n = 100 \):
Всего квадратиков: \( 100^2 = 10\,000 \).
Внутренняя часть — квадрат \( 98 \times 98 = 98^2 = 9604 \) квадратика.
Граничных квадратиков:
\[
100^2 — 98^2 = 10\,000 — 9604 = 396.
\]
е) В общем случае, при произвольном натуральном \( n \geq 2 \):
— Весь квадрат содержит \( n^2 \) клеток.
— Внутренняя часть (не граничная) — это квадрат размером \( (n — 2) \times (n — 2) \), то есть \( (n — 2)^2 \) клеток.
— Следовательно, количество граничных клеток:
\[
n^2 — (n — 2)^2 = n^2 — (n^2 — 4n + 4) = 4n — 4 = 4(n — 1).
\]
Эта формула справедлива для всех \( n \geq 2 \). При \( n = 1 \) весь квадрат состоит из одной клетки, которая одновременно является граничной, но в таком случае формула даёт \( 4(1 — 1) = 0 \), что некорректно — поэтому считаем \( n \geq 2 \).
