ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 2 Дополнительная задача 3 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите долю (в процентах) «граничных» квадратиков среди всех квадратиков при: а) n = 2; б) n = 4; в) n = 5; г) n = 10; д) n = 100; е) произвольном n

Используя задание 2, ответим на вопросы.

а) При \( n = 2 \) все квадратики (их 4) будут «граничными».
Тогда:

\[
\frac{4}{4} \cdot 100\,\% = 1 \cdot 100\,\% = 100\,\% \text{ составляют «граничные» квадратики}
\]
от всех квадратиков.

б) При \( n = 4 \) весь квадрат состоит из 16 квадратиков,
из них 12 «граничных» квадратиков.
Тогда:

\[
\frac{12}{16} \cdot 100\,\% = \frac{3}{4} \cdot 100\,\% = 3 \cdot 25 = 75\,\% \text{ составляют «граничные» квадратики}
\]
от всех квадратиков.

в) При \( n = 5 \) весь квадрат состоит из 25 квадратиков,
из них 16 «граничных» квадратиков.
Тогда:

\[
\frac{16}{25} \cdot 100\,\% = 16 \cdot 4 = 64\,\% \text{ составляют «граничные» квадратики}
\]
от всех квадратиков.

г) При \( n = 10 \) весь квадрат состоит из 100 квадратиков,
из них 36 «граничных» квадратиков.
Тогда:

\[
\frac{36}{100} \cdot 100\,\% = 36\,\% \text{ составляют «граничные» квадратики}
\]
от всех квадратиков.

д) При \( n = 100 \) весь квадрат состоит из 10 000 квадратиков,
из них 396 «граничных» квадратиков.
Тогда:

\[
\frac{396}{10\,000} \cdot 100\,\% = \frac{396}{100} = 3{,}96\,\% \text{ составляют «граничные» квадратики}
\]
от всех квадратиков.

е) При произвольном \( n \) весь квадрат состоит из \( n^2 \) квадратиков,
из них \( 4(n — 1) \) «граничных» квадратиков.
Тогда:

\[
\frac{4(n — 1)}{n^2} \cdot 100\,\% = \frac{400(n — 1)}{n^2}\,\% \text{ составляют «граничные» квадратики}
\]
от всех квадратиков.

а) Пусть \( n = 2 \).
В этом случае весь квадрат состоит из \( 2^2 = 4 \) маленьких квадратиков.
Поскольку квадрат имеет минимальный размер, при котором ещё можно выделить границу, все его клетки соприкасаются хотя бы с одной внешней стороной. Таким образом, каждая из четырёх клеток является граничной.
Количество граничных квадратиков: \( 4 \).
Процент граничных квадратиков:
\[
\frac{4}{4} \cdot 100\,\% = 100\,\%.
\]

б) Пусть \( n = 4 \).
Общее число квадратиков: \( 4^2 = 16 \).
Согласно решению задачи № 2, количество граничных квадратиков для \( n = 4 \) составляет 12. Это можно также проверить, вычитая внутренний квадрат \( 2 \times 2 = 4 \) из общего количества: \( 16 — 4 = 12 \).
Тогда процент граничных квадратиков:
\[
\frac{12}{16} \cdot 100\,\% = \frac{3}{4} \cdot 100\,\% = 75\,\%.
\]

в) Пусть \( n = 5 \).
Общее число квадратиков: \( 5^2 = 25 \).
Из задачи № 2 известно, что количество граничных квадратиков равно \( 5^2 — 3^2 = 25 — 9 = 16 \).
Процент граничных квадратиков:
\[
\frac{16}{25} \cdot 100\,\% = 16 \cdot 4 = 64\,\%.
\]

г) Пусть \( n = 10 \).
Общее число квадратиков: \( 10^2 = 100 \).
Количество граничных квадратиков, найденное ранее: \( 10^2 — 8^2 = 100 — 64 = 36 \).
Процент граничных квадратиков:
\[
\frac{36}{100} \cdot 100\,\% = 36\,\%.
\]

д) Пусть \( n = 100 \).
Общее число квадратиков: \( 100^2 = 10\,000 \).
Внутренний квадрат, не являющийся граничным, имеет размер \( 98 \times 98 \), то есть содержит \( 98^2 = 9604 \) клеток.
Следовательно, количество граничных квадратиков: \( 10\,000 — 9604 = 396 \).
Процент граничных квадратиков:
\[
\frac{396}{10\,000} \cdot 100\,\% = \frac{396}{100} = 3{,}96\,\%.
\]

е) Рассмотрим общий случай при произвольном натуральном \( n \geq 2 \).
Общее количество маленьких квадратиков в большом квадрате равно \( n^2 \).
Внутренние (неграничные) квадратики образуют квадрат со стороной \( n — 2 \), так как по одному ряду клеток с каждой стороны отводится под границу. Их количество: \( (n — 2)^2 \).
Следовательно, количество граничных квадратиков:

\[
n^2 — (n — 2)^2 = 4(n — 1).
\]
Тогда процент граничных квадратиков от общего числа:

\[
\frac{4(n — 1)}{n^2} \cdot 100\,\% = \frac{400(n — 1)}{n^2}\,\%.
\]

Эта формула показывает, что при увеличении размера квадрата доля граничных клеток уменьшается, поскольку площадь растёт квадратично, а периметр — линейно. В пределе при \( n \to \infty \) процент стремится к нулю.

Ответ:
а) \( 100\,\% \)
б) \( 75\,\% \)
в) \( 64\,\% \)
г) \( 36\,\% \)
д) \( 3{,}96\,\% \)
е) \( \displaystyle \frac{400(n — 1)}{n^2}\,\% \)