ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 2 Дополнительная задача 5 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точку координатной плоскости по словесному описанию соотношений между её абсциссой и ординатой: а) абсцисса равна удвоенной ординате и при этом на 1 меньше ординаты; б) абсцисса равна трети ординаты и при этом на 4 больше ординаты; в) ордината на 3 больше абсциссы и на 1 меньше абсциссы, взятой с противоположным знаком; г) ордината на 2 меньше удвоенной абсциссы и при этом на 4 больше утроенной абсциссы; д) абсцисса равна ординате, а сумма абсциссы и ординаты на 4 меньше утроенной ординаты; е) ордината равна учетверённой абсциссе, а абсцисса на 3 меньше утроенной ординаты

а)
Абсцисса равна удвоенной ординате: \( x = 2y \)
Абсцисса на 1 меньше ординаты: \( x = y — 1 \)
Приравниваем: \( 2y = y — 1 \)
\( y = -1 \)
\( x = 2 \cdot (-1) = -2 \)
Координаты точки: \( (-2; -1) \)

б)
Абсцисса равна трети ординаты: \( x = \frac{1}{3}y \)
Абсцисса на 4 больше ординаты: \( x = y + 4 \)
Приравниваем: \( \frac{1}{3}y = y + 4 \)
Умножаем на 3: \( y = 3y + 12 \)
\( -2y = 12 \)
\( y = -6 \)
\( x = \frac{1}{3} \cdot (-6) = -2 \)
Координаты точки: \( (-2; -6) \)

в)
Ордината на 3 больше абсциссы: \( y = x + 3 \)
Ордината на 1 меньше противоположной абсциссы: \( y = -x — 1 \)
Приравниваем: \( x + 3 = -x — 1 \)
\( 2x = -4 \)
\( x = -2 \)
\( y = -2 + 3 = 1 \)
Координаты точки: \( (-2; 1) \)

г)
Ордината на 2 меньше удвоенной абсциссы: \( y = 2x — 2 \)
Ордината на 4 больше утроенной абсциссы: \( y = 3x + 4 \)
Приравниваем: \( 2x — 2 = 3x + 4 \)
\( -x = 6 \)
\( x = -6 \)
\( y = 2 \cdot (-6) — 2 = -14 \)
Координаты точки: \( (-6; -14) \)

д)
Абсцисса равна ординате: \( x = y \)
Сумма координат на 4 меньше утроенной ординаты: \( x + y = 3y — 4 \)
Подставляем: \( y + y = 3y — 4 \)
\( 2y = 3y — 4 \)
\( -y = -4 \)
\( y = 4 \)
\( x = 4 \)
Координаты точки: \( (4; 4) \)

е)
Ордината равна учетверённой абсциссе: \( y = 4x \)
Абсцисса на 3 меньше утроенной ординаты: \( x = 3y — 3 \)
Подставляем: \( x = 3(4x) — 3 \)
\( x = 12x — 3 \)
\( -11x = -3 \)
\( x = \frac{3}{11} \)
\( y = 4 \cdot \dfrac{3}{11} = \frac{12}{11} \)
Координаты точки: \( \left( \frac{3}{11}; \frac{12}{11} \right) \)

Условие:
Найти координаты точки по двум заданным условиям, связывающим абсциссу \( x \) и ординату \( y \)

а)
Первое условие: абсцисса равна удвоенной ординате, то есть \( x = 2y \)
Второе условие: абсцисса на 1 меньше ординаты, то есть \( x = y — 1 \)
Поскольку оба выражения равны \( x \), приравниваем их правые части:
\( 2y = y — 1 \)
Переносим \( y \) в левую часть:
\( 2y — y = -1 \)
\( y = -1 \)
Подставляем найденное значение в первое уравнение:
\( x = 2 \cdot (-1) = -2 \)
Координаты искомой точки: \( (-2; -1) \)

б)
Первое условие: абсцисса равна трети ординаты, то есть \( x = \frac{1}{3}y \)
Второе условие: абсцисса на 4 больше ординаты, то есть \( x = y + 4 \)
Приравниваем правые части:
\( \frac{1}{3}y = y + 4 \)
Умножаем обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
\( y = 3y + 12 \)
Переносим \( 3y \) в левую часть:
\( y — 3y = 12 \)
\( -2y = 12 \)
Делим обе части на \( -2 \):
\( y = -6 \)
Находим \( x \):
\( x = \frac{1}{3} \cdot (-6) = -2 \)
Координаты искомой точки: \( (-2; -6) \)

в)
Первое условие: ордината на 3 больше абсциссы, то есть \( y = x + 3 \)
Второе условие: ордината на 1 меньше противоположной абсциссы, то есть \( y = -x — 1 \)
Приравниваем правые части:
\( x + 3 = -x — 1 \)
Переносим \( x \) в левую часть, а числа — в правую:
\( x + x = -1 — 3 \)
\( 2x = -4 \)
Делим на 2:
\( x = -2 \)
Находим \( y \):
\( y = -2 + 3 = 1 \)
Координаты искомой точки: \( (-2; 1) \)

г)
Первое условие: ордината на 2 меньше удвоенной абсциссы, то есть \( y = 2x — 2 \)
Второе условие: ордината на 4 больше утроенной абсциссы, то есть \( y = 3x + 4 \)
Приравниваем правые части:
\( 2x — 2 = 3x + 4 \)
Переносим \( 3x \) в левую часть, а \( -2 \) — в правую:
\( 2x — 3x = 4 + 2 \)
\( -x = 6 \)
Умножаем обе части на \( -1 \):
\( x = -6 \)
Находим \( y \):
\( y = 2 \cdot (-6) — 2 = -12 — 2 = -14 \)
Координаты искомой точки: \( (-6; -14) \)

д)
Первое условие: абсцисса равна ординате, то есть \( x = y \)
Второе условие: сумма координат на 4 меньше утроенной ординаты, то есть \( x + y = 3y — 4 \)
Подставляем \( x = y \) во второе уравнение:
\( y + y = 3y — 4 \)
\( 2y = 3y — 4 \)
Переносим \( 3y \) в левую часть:
\( 2y — 3y = -4 \)
\( -y = -4 \)
Умножаем на \( -1 \):
\( y = 4 \)
Так как \( x = y \), то \( x = 4 \)
Координаты искомой точки: \( (4; 4) \)

е)
Первое условие: ордината равна учетверённой абсциссе, то есть \( y = 4x \)
Второе условие: абсцисса на 3 меньше утроенной ординаты, то есть \( x = 3y — 3 \)
Подставляем выражение для \( y \) из первого уравнения во второе:
\( x = 3(4x) — 3 \)
\( x = 12x — 3 \)
Переносим \( 12x \) в левую часть:
\( x — 12x = -3 \)
\( -11x = -3 \)
Делим обе части на \( -11 \):
\( x = \frac{3}{11} \)
Находим \( y \):
\( y = 4 \cdot \frac{3}{11} = \frac{12}{11} \)
Координаты искомой точки: \( \left( \frac{3}{11}; \frac{12}{11} \right) \)