ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 2 Дополнительная задача 6 Мордкович — Подробные Ответы

В упражнениях 6 и 7 найдите количество точек координатной плоскости, у которых абсцисса х и ордината у — натуральные числа, удовлетворяющие заданным соотношениям. а) \( x \leq 3 \) и \( y \leq 3 \);б) \( x < 6 \) и \( y < 7 \);в) \( 10 < x \leq 15 \) и \( y \leq 5 \);г) \( x < 13 \) и \( 9 < y < 17 \);д) \( 5 < y \leq 12 \).

а) \( x \leq 3 \) и \( y \leq 3 \).
\( x = \{1; 2; 3\} \rightarrow \) всего 3; \( y = \{1; 2; 3\} \rightarrow \) всего 3.
Значит, всего на координатной плоскости может быть:
\( 3 \cdot 3 = 9 \) (точек).
Ответ: 9 точек.

б) \( x < 6 \) и \( y < 7 \).
\( x = \{1; 2; 3; 4; 5\} \rightarrow \) всего 5; \( y = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\} \rightarrow \) всего 6.
Значит, всего на координатной плоскости может быть:
\( 5 \cdot 6 = 30 \) (точек).
Ответ: 30 точек.

в) \( 10 < x \leq 15 \) и \( y \leq 5 \).
\( x = \{11; 12; 13; 14; 15\} \rightarrow \) всего 5; \( y = \{1; 2; 3; 4; 5\} \rightarrow \) всего 5.
Значит, всего на координатной плоскости может быть:
\( 5 \cdot 5 = 25 \) (точек).
Ответ: 25 точек.

г) \( x < 13 \) и \( 9 < y < 17 \).
\( x \rightarrow \) всего 12; \( y \rightarrow \) всего 7.
Значит, всего на координатной плоскости может быть:
\( 12 \cdot 7 = 84 \) (точки).
Ответ: 84 точки.

д) \( 5 < y \leq 12 \).
\( y = \{6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\} \).
Если \( y = 6 \), то \( x \) — любое число от 6 до 12 включительно → всего 7 вариантов;
если \( y = 7 \), то \( x \) — любое число от 7 до 12 включительно → всего 6 вариантов;
если \( y = 8 \), то \( x \) — любое число от 8 до 12 включительно → всего 5 вариантов;
если \( y = 9 \), то \( x \) — любое число от 9 до 12 включительно → всего 4 варианта;
если \( y = 10 \), то \( x \) — любое число от 10 до 12 включительно → всего 3 варианта;
если \( y = 11 \), то \( x = 11 \) или \( x = 12 \) → всего 2 варианта;
если \( y = 12 \), то \( x = 12 \) → всего 1 вариант.
Значит, всего на координатной плоскости может быть:
\( 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \) (точек).
Ответ: 28 точек.

В задаче требуется найти количество точек с натуральными координатами (то есть целыми положительными числами), удовлетворяющих заданным условиям на координатной плоскости.
Предполагается, что \( x \in \mathbb{N} \), \( y \in \mathbb{N} \), где \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \), если иное не указано.

а) Условия: \( x \leq 3 \) и \( y \leq 3 \)

Найдём все возможные натуральные значения:

— Возможные значения \( x \): \( 1, 2, 3 \) → всего 3 значения
— Возможные значения \( y \): \( 1, 2, 3 \) → всего 3 значения

Каждой паре \( (x, y) \) соответствует одна точка.
Общее число точек:
\( 3 \cdot 3 = 9 \)

Ответ: 9 точек

б) Условия: \( x < 6 \) и \( y < 7 \)

— \( x < 6 \), \( x \in \mathbb{N} \) → \( x = 1, 2, 3, 4, 5 \) → 5 значений
— \( y < 7 \), \( y \in \mathbb{N} \) → \( y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) → 6 значений

Общее число точек:
\( 5 \cdot 6 = 30 \)

Ответ: 30 точек

в) Условия: \( 10 < x \leq 15 \) и \( y \leq 5 \)

— \( 10 < x \leq 15 \), \( x \in \mathbb{N} \) → \( x = 11, 12, 13, 14, 15 \) → 5 значений
— \( y \leq 5 \), \( y \in \mathbb{N} \) → \( y = 1, 2, 3, 4, 5 \) → 5 значений

Общее число точек:
\( 5 \cdot 5 = 25 \)

Ответ: 25 точек

г) Условия: \( x < 13 \) и \( 9 < y < 17 \)

— \( x < 13 \), \( x \in \mathbb{N} \) → \( x = 1, 2, \dots, 12 \) → 12 значений
— \( 9 < y < 17 \), \( y \in \mathbb{N} \) → \( y = 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 \) → 7 значений

Общее число точек:
\( 12 \cdot 7 = 84 \)

Ответ: 84 точки

д) Условие: \( 5 < y \leq 12 \), и дополнительно (по логике изображения):
для каждого \( y \), \( x \) — натуральное число, такое что \( x \geq y \) и \( x \leq 12 \)

Сначала найдём возможные значения \( y \):
\( y = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \) → 7 значений

Теперь для каждого \( y \) определим количество допустимых \( x \):

— При \( y = 6 \): \( x = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \) → 7 вариантов
— При \( y = 7 \): \( x = 7, 8, 9, 10, 11, 12 \) → 6 вариантов
— При \( y = 8 \): \( x = 8, 9, 10, 11, 12 \) → 5 вариантов
— При \( y = 9 \): \( x = 9, 10, 11, 12 \) → 4 варианта
— При \( y = 10 \): \( x = 10, 11, 12 \) → 3 варианта
— При \( y = 11 \): \( x = 11, 12 \) → 2 варианта
— При \( y = 12 \): \( x = 12 \) → 1 вариант

Суммируем:
\( 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \)

Это сумма арифметической прогрессии:
\( S = \dfrac{7(7 + 1)}{2} = 28 \)

Ответ: 28 точек

Вывод:
Во всех пунктах задача сводится к подсчёту количества целочисленных пар \( (x, y) \), удовлетворяющих заданным неравенствам.
В первых четырёх случаях используется правило произведения, в последнем — суммирование количества вариантов для каждого возможного \( y \).