ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 3 Дополнительная задача 11 Мордкович — Подробные Ответы

У двух братьев было по 30 000 р. Они положили свои деньги в банки А и В, первый соответственно 20 000 р. и 10 000 р., а второй — по 15 000 р. Через год, закрыв счета, первый брат получил на руки 32 000 р., а второй — 32 250 р. Каков годовой процент в банке А и каков в банке В?

Условие:
Два брата положили деньги в банки А и В, получив разные суммы через год. Найти годовой процент в каждом банке.

Решение:
Пусть \(x\)
— годовой процент в банке А, а \(y\)
— годовой процент в банке В.

Первый брат:
\(20000(1 + \frac{x}{100}) + 10000(1 + \frac{y}{100}) = 32000\)
— уравнение для первого брата

\(20000 + 200x + 10000 + 100y = 32000\)
— раскрываем скобки
\(200x + 100y = 2000\)
— упрощаем
\(2x + y = 20\)
— делим на 100

Второй брат:
\(15000(1 + \frac{x}{100}) + 15000(1 + \frac{y}{100}) = 32250\)
— уравнение для второго брата

\(15000 + 150x + 15000 + 150y = 32250\)
— раскрываем скобки
\(150x + 150y = 2250\)
— упрощаем
\(x + y = 15\)
— делим на 150

Решаем систему уравнений:
\( \begin{cases} 2x + y = 20 \\ x + y = 15 \end{cases} \)

Вычитаем из первого уравнения второе:
\(x = 5\)
— находим x

Подставляем \(x\)
во второе уравнение:
\(5 + y = 15\)

\(y = 10\)
— находим y

Процент в банке А: 5%
Процент в банке В: 10%

Условие задачи
Два брата вложили свои деньги в два разных банка, получив разные суммы через год. Нам необходимо определить годовые проценты \( x \) в банке А и \( y \) в банке В.

Обозначения
— \( x \) — годовой процент в банке А.
— \( y \) — годовой процент в банке В.

Данные о вложениях
1. Первый брат вложил:
— 20000 рублей в банк А.
— 10000 рублей в банк В.
— Через год он получил 32000 рублей.

2. Второй брат вложил:
— 15000 рублей в банк А.
— 15000 рублей в банк В.
— Через год он получил 32250 рублей.

Составление уравнений

Уравнение для первого брата
Сначала запишем уравнение для первого брата, используя формулу сложных процентов:

\[
20000\left(1 + \frac{x}{100}\right) + 10000\left(1 + \frac{y}{100}\right) = 32000
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
20000 + 20000 \cdot \frac{x}{100} + 10000 + 10000 \cdot \frac{y}{100} = 32000
\]

\[
20000 + 200x + 10000 + 100y = 32000
\]

Теперь соберем все подобные члены:

\[
200x + 100y = 32000 — 30000
\]

\[
200x + 100y = 2000
\]

Теперь упростим это уравнение, разделив на 100:

\[
2x + y = 20 \quad (1)
\]

Уравнение для второго брата
Теперь запишем уравнение для второго брата:

\[
15000\left(1 + \frac{x}{100}\right) + 15000\left(1 + \frac{y}{100}\right) = 32250
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
15000 + 15000 \cdot \frac{x}{100} + 15000 + 15000 \cdot \frac{y}{100} = 32250
\]

\[
15000 + 150x + 15000 + 150y = 32250
\]

Соберем подобные члены:

\[
150x + 150y = 32250 — 30000
\]

\[
150x + 150y = 2250
\]

Теперь упростим это уравнение, разделив на 150:

\[
x + y = 15 \quad (2)
\]

Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
2x + y = 20 \\
x + y = 15
\end{cases}
\]

Вычитание уравнений
Вычтем второе уравнение из первого:

\[
(2x + y) — (x + y) = 20 — 15
\]

Упрощаем:

\[
2x — x + y — y = 5
\]

Получаем:

\[
x = 5
\]

Теперь подставим найденное значение \( x \) во второе уравнение:

\[
5 + y = 15
\]

Решим это уравнение для \( y \):

\[
y = 15 — 5 = 10
\]

Результаты
Мы нашли значения годовых процентов:

— Процент в банке А: \( x = 5\% \)
— Процент в банке В: \( y = 10\% \)

Проверка результатов
Чтобы убедиться в правильности наших расчетов, подставим значения \( x \) и \( y \) обратно в уравнения:

1. Для первого брата:

\[
20000(1 + \frac{5}{100}) + 10000(1 + \frac{10}{100}) =
\]

\[
= 20000(1.05) + 10000(1.10) = 21000 + 11000 = 32000
\]

2. Для второго брата:

\[
15000(1 + \frac{5}{100}) + 15000(1 + \frac{10}{100}) =
\]

\[
= 15000(1.05) + 15000(1.10) = 15750 + 16500 = 32250
\]

Оба уравнения верны, что подтверждает правильность наших вычислений.

Заключение
Таким образом, мы пришли к выводу, что годовой процент в банке А составляет 5%, а в банке В — 10%.