Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 3 Дополнительная задача 3 Мордкович — Подробные Ответы
Сумма первого числа, удвоенного второго числа и утроенного третьего числа равна 30, а сумма третьего числа, удвоенного второго числа и утроенного первого числа равна 10. Найдите эти числа, если известно, что: а) третье число равно 4; б) второе число равно —5; в) первое число равно второму числу; г) второе число в три раза больше первого; д) третье число равно сумме первого и второго чисел; е) сумма всех чисел равна 16.
a)
\( x + 2y + 3(4) = 30 \)
\( 4 + 2y + 3x = 10 \)
\( x + 2y = 18 \)
\( 3x + 2y = 6 \)
\( 2x = -12 \)
\( x = -6 \)
\( -6 + 2y = 18 \)
\( 2y = 24 \)
\( y = 12 \)
б)
\( x + 2(-5) + 3z = 30 \)
\( z + 2(-5) + 3x = 10 \)
\( x + 3z = 40 \)
\( 3x + z = 20 \)
\( 9x + 3z = 60 \)
\( 8x = 20 \)
\( x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5 \)
\( 2.5 + 3z = 40 \)
\( 3z = 37.5 \)
\( z = 12.5 \)
в)
\( x + 2y + 3z = 30 \)
\( z + 2y + 3x = 10 \)
\( x = y \)
\( x + 2x + 3z = 30 \)
\( z + 2x + 3x = 10 \)
\( 3x + 3z = 30 \)
\( 5x + z = 10 \)
\( x + z = 10 \)
\( z = 10 — x \)
\( 5x + 10 — x = 10 \)
\( 4x = 0 \)
\( x = 0 \)
\( y = 0 \)
\( z = 10 \)
г)
\( x + 2y + 3z = 30 \)
\( z + 2y + 3x = 10 \)
\( y = 3x \)
\( x + 2(3x) + 3z = 30 \)
\( z + 2(3x) + 3x = 10 \)
\( 7x + 3z = 30 \)
\( 9x + z = 10 \)
\( z = 10 — 9x \)
\( 7x + 3(10 — 9x) = 30 \)
\( 7x + 30 — 27x = 30 \)
\( -20x = 0 \)
\( x = 0 \)
\( y = 0 \)
\( z = 10 \)
д)
\( x + 2y + 3z = 30 \)
\( z + 2y + 3x = 10 \)
\( z = x + y \)
\( x + 2y + 3(x + y) = 30 \)
\( x + y + 2y + 3x = 10 \)
\( 4x + 5y = 30 \)
\( 4x + 3y = 10 \)
\( 4x = 10 — 3y \)
\( x = \frac{10 — 3y}{4} \)
\( 4(\frac{10 — 3y}{4}) + 5y = 30 \)
\( 10 — 3y + 5y = 30 \)
\( 2y = 20 \)
\( y = 10 \)
\( x = \frac{10 — 3(10)}{4} = \frac{-20}{4} = -5 \)
\( z = -5 + 10 = 5 \)
е)
\( x + 2y + 3z = 30 \)
\( z + 2y + 3x = 10 \)
\( x + y + z = 16 \)
\( x + z = 16 — y \)
\( 2y = 30 — x — 3z \)
\( 2y = 10 — z — 3x \)
\( 30 — x — 3z = 10 — z — 3x \)
\( 2x — 2z = -20 \)
\( x — z = -10 \)
\( x = z — 10 \)
\( z — 10 + y + z = 16 \)
\( 2z + y = 26 \)
\( y = 26 — 2z \)
\( z — 10 + 2(26 — 2z) + 3z = 30 \)
\( z — 10 + 52 — 4z + 3z = 30 \)
\( 42 = 30 \)
Невозможно
Условие: Найти три числа, зная соотношения между ними и две суммы.
Решение:
Пусть первое число \(x\), второе число \(y\), третье число \(z\).
Запишем систему уравнений:
\(x + 2y + 3z = 30\)
\(3x + 2y + z = 10\)
а)
\(z = 4\)
Подставим в систему:
\(x + 2y + 3 \cdot 4 = 30\)
\(3x + 2y + 4 = 10\)
\(x + 2y = 18\)
\(3x + 2y = 6\)
Вычтем из второго уравнения первое:
\(2x = -12\)
\(x = -6\)
Подставим \(x\)
в первое уравнение:
\(-6 + 2y = 18\)
\(2y = 24\)
\(y = 12\)
\(x = -6, y = 12, z = 4\)
Решение:
б)
\(y = -5\)
Подставим в систему:
\(x + 2 \cdot (-5) + 3z = 30\)
\(3x + 2 \cdot (-5) + z = 10\)
\(x + 3z = 40\)
\(3x + z = 20\)
Умножим второе уравнение на -3:
\(x + 3z = 40\)
\(-9x — 3z = -60\)
Сложим уравнения:
\(-8x = -20\)
\(x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5\)
Подставим \(x\)
во второе уравнение:
\(3 \cdot 2.5 + z = 20\)
\(7.5 + z = 20\)
\(z = 12.5\)
\(x = 2.5, y = -5, z = 12.5\)
Решение:
в)
\(x = y\)
Подставим в систему:
\(x + 2x + 3z = 30\)
\(3x + 2x + z = 10\)
\(3x + 3z = 30\)
\(5x + z = 10\)
Разделим первое уравнение на 3:
\(x + z = 10\)
\(5x + z = 10\)
Вычтем из второго уравнения первое:
\(4x = 0\)
\(x = 0\)
\(y = 0\)
Подставим \(x\)
в первое уравнение:
\(0 + z = 10\)
\(z = 10\)
\(x = 0, y = 0, z = 10\)
Решение:
г)
\(y = 3x\)
Подставим в систему:
\(x + 2 \cdot 3x + 3z = 30\)
\(3x + 2 \cdot 3x + z = 10\)
\(7x + 3z = 30\)
\(9x + z = 10\)
Умножим второе уравнение на -3:
\(7x + 3z = 30\)
\(-27x — 3z = -30\)
Сложим уравнения:
\(-20x = 0\)
\(x = 0\)
\(y = 3 \cdot 0 = 0\)
Подставим \(x\)
во второе уравнение:
\(9 \cdot 0 + z = 10\)
\(z = 10\)
\(x = 0, y = 0, z = 10\)
Решение:
д)
\(z = x + y\)
Подставим в систему:
\(x + 2y + 3(x + y) = 30\)
\(3x + 2y + (x + y) = 10\)
\(x + 2y + 3x + 3y = 30\)
\(3x + 2y + x + y = 10\)
\(4x + 5y = 30\)
\(4x + 3y = 10\)
Вычтем из первого уравнения второе:
\(2y = 20\)
\(y = 10\)
Подставим \(y\)
во второе уравнение:
\(4x + 3 \cdot 10 = 10\)
\(4x + 30 = 10\)
\(4x = -20\)
\(x = -5\)
\(z = -5 + 10 = 5\)
\(x = -5, y = 10, z = 5\)
Решение:
е)
\(x + y + z = 16\)
Добавим уравнение к системе:
\(x + 2y + 3z = 30\)
\(3x + 2y + z = 10\)
\(x + y + z = 16\)
Выразим \(x\)
из третьего уравнения:
\(x = 16 — y — z\)
Подставим в первые два уравнения:
\((16 — y — z) + 2y + 3z = 30\)
\(3(16 — y — z) + 2y + z = 10\)
\(16 + y + 2z = 30\)
\(48 — 3y — 3z + 2y + z = 10\)
\(y + 2z = 14\)
\(-y — 2z = -38\)
Сложим уравнения:
\(0 = -24\)
Решений нет.
