Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 3 Дополнительная задача 6 Мордкович — Подробные Ответы
Найдите все значения а и b, при которых пара чисел (2а — 1; 3b + 2) будет решением системы: а) {x = y — 2; y = 2x + 1}; б) {x = 3y — 2; y = 4x — 3}; в) {x + y = 2; x — 2y = 0}; г) {x — 2y = 10; x — y = 7}; д) {2x — y = 10; x + 2y = 4}; е) {2x + y = 20; x — 3y = -25}.
а)
\( x = 2a — 1 \)
\( y = 3b + 2 \)
\( \begin{cases} 2a — 1 = 3b + 2 — 2 \\ 3b + 2 = 2(2a — 1) + 1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2a — 1 = 3b \\ 3b + 2 = 4a — 2 + 1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2a — 3b = 1 \\ 4a — 3b = 3 \end{cases} \)
\( 2a = 2 \)
\( a = 1 \)
\( 2(1) — 3b = 1 \)
\( 2 — 3b = 1 \)
\( 3b = 1 \)
\( b = \frac{1}{3} \)
б)
\( x = 2a — 1 \)
\( y = 3b + 2 \)
\( \begin{cases} 2a — 1 = 3(3b + 2) — 2 \\ 3b + 2 = 4(2a — 1) — 3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2a — 1 = 9b + 6 — 2 \\ 3b + 2 = 8a — 4 — 3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2a — 9b = 5 \\ 8a — 3b = 9 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 8a — 36b = 20 \\ 8a — 3b = 9 \end{cases} \)
\( -33b = 11 \)
\( b = -\frac{1}{3} \)
\( 2a — 9(-\frac{1}{3}) = 5 \)
\( 2a + 3 = 5 \)
\( 2a = 2 \)
\( a = 1 \)
в)
\( x = 2a — 1 \)
\( y = 3b + 2 \)
\( \begin{cases} 2a — 1 + 3b + 2 = 2 \\ 2a — 1 — 2(3b + 2) = 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2a + 3b = 1 \\ 2a — 6b = 5 \end{cases} \)
\( 9b = -4 \)
\( b = -\frac{4}{9} \)
\( 2a + 3(-\frac{4}{9}) = 1 \)
\( 2a — \frac{4}{3} = 1 \)
\( 2a = \frac{7}{3} \)
\( a = \frac{7}{6} \)
г)
\( x = 2a — 1 \)
\( y = 3b + 2 \)
\( \begin{cases} 2a — 1 — 2(3b + 2) = 10 \\ 2a — 1 — (3b + 2) = 7 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2a — 1 — 6b — 4 = 10 \\ 2a — 1 — 3b — 2 = 7 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2a — 6b = 15 \\ 2a — 3b = 10 \end{cases} \)
\( -3b = 5 \)
\( b = -\frac{5}{3} \)
\( 2a — 3(-\frac{5}{3}) = 10 \)
\( 2a + 5 = 10 \)
\( 2a = 5 \)
\( a = \frac{5}{2} \)
д)
\( x = 2a — 1 \)
\( y = 3b + 2 \)
\( \begin{cases} 2(2a — 1) — (3b + 2) = 10 \\ 2a — 1 + 2(3b + 2) = 4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 4a — 2 — 3b — 2 = 10 \\ 2a — 1 + 6b + 4 = 4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 4a — 3b = 14 \\ 2a + 6b = 1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 8a — 6b = 28 \\ 2a + 6b = 1 \end{cases} \)
\( 10a = 29 \)
\( a = \frac{29}{10} \)
\( 2(\frac{29}{10}) + 6b = 1 \)
\( \frac{29}{5} + 6b = 1 \)
\( 6b = -\frac{24}{5} \)
\( b = -\frac{4}{5} \)
е)
Дано:
\[
x = 2a — 1
\]
\[
y = 3b + 2
\]
Система уравнений:
\[
\begin{cases}
2(2a — 1) + (3b + 2) = 20 \\
2a — 1 — 3(3b + 2) = -25
\end{cases}
\]
Упрощение уравнений
1. Первое уравнение:
\[
2(2a — 1) + (3b + 2) = 20 > 4a + 3b = 20 \tag{1}
\]
2. Второе уравнение:
\[
2a — 1 — 3(3b + 2) = -25 > 2a — 9b = -18 \tag{2}
\]
Решение системы
Система:
\[
\begin{cases}
4a + 3b = 20 \\
2a — 9b = -18
\end{cases}
\]
Умножим второе уравнение на 2:
\[
4a — 18b = -36
\]
Вычтем первое уравнение из второго:
\[
-21b = -56 > b = \frac{8}{3}
\]
Подставим \(b\) в первое уравнение:
\[
4a + 8 = 20 > 4a = 12 > a = 3
\]
Условие:
Найти \(a\)
и \(b\), при которых \((2a-1; 3b+2)\)
решение системы уравнений.
Решение:
а) {x = y — 2; y = 2x + 1}
\(x = 2a — 1\)
— подставляем
\(y = 3b + 2\)
— подставляем
\(2a — 1 = 3b + 2 — 2\)
\(3b + 2 = 2(2a — 1) + 1\)
\(2a — 1 = 3b\)
\(3b + 2 = 4a — 2 + 1\)
\(2a — 3b = 1\)
\(4a — 3b = 3\)
Вычитаем первое из второго:
\(2a = 2\)
\(a = 1\)
— нашли \(a\)
\(2(1) — 3b = 1\)
\(2 — 3b = 1\)
\(-3b = -1\)
\(b = \frac{1}{3}\)
— нашли \(b\)
а)
\( a = 1 \), \( b = \frac{1}{3} \)
Решение:
б) {x = 3y — 2; y = 4x — 3}
\(x = 2a — 1\)
— подставляем
\(y = 3b + 2\)
— подставляем
\(2a — 1 = 3(3b + 2) — 2\)
\(3b + 2 = 4(2a — 1) — 3\)
\(2a — 1 = 9b + 6 — 2\)
\(3b + 2 = 8a — 4 — 3\)
\(2a — 9b = 5\)
\(8a — 3b = 9\)
Умножаем первое на -4 и складываем со вторым:
\(-8a + 36b = -20\)
\(8a — 3b = 9\)
\(33b = -11\)
\(b = -\frac{1}{3}\)
— нашли \(b\)
\(2a — 9(-\frac{1}{3}) = 5\)
\(2a + 3 = 5\)
\(2a = 2\)
\(a = 1\)
— нашли \(a\)
б)
\( a = 1 \), \( b = -\frac{1}{3} \)
Решение:
в) {x + y = 2; x — 2y = 0}
\(x = 2a — 1\)
— подставляем
\(y = 3b + 2\)
— подставляем
\(2a — 1 + 3b + 2 = 2\)
\(2a — 1 — 2(3b + 2) = 0\)
\(2a + 3b = 1\)
\(2a — 6b = 5\)
Вычитаем первое из второго:
\(-9b = 4\)
\(b = -\frac{4}{9}\)
— нашли \(b\)
\(2a + 3(-\frac{4}{9}) = 1\)
\(2a — \frac{4}{3} = 1\)
\(2a = \frac{7}{3}\)
\(a = \frac{7}{6}\)
— нашли \(a\)
в)
\( a = \frac{7}{6} \), \( b = -\frac{4}{9} \)
Решение:
г) {x — 2y = 10; x — y = 7}
\(x = 2a — 1\)
— подставляем
\(y = 3b + 2\)
— подставляем
\(2a — 1 — 2(3b + 2) = 10\)
\(2a — 1 — (3b + 2) = 7\)
\(2a — 1 — 6b — 4 = 10\)
\(2a — 1 — 3b — 2 = 7\)
\(2a — 6b = 15\)
\(2a — 3b = 10\)
Вычитаем второе из первого:
\(-3b = 5\)
\(b = -\frac{5}{3}\)
— нашли \(b\)
\(2a — 3(-\frac{5}{3}) = 10\)
\(2a + 5 = 10\)
\(2a = 5\)
\(a = \frac{5}{2}\)
— нашли \(a\)
г)
\( a = \frac{5}{2} \), \( b = -\frac{5}{3} \)
Решение:
д) {2x — y = 10; x + 2y = 4}
\(x = 2a — 1\)
— подставляем
\(y = 3b + 2\)
— подставляем
\(2(2a — 1) — (3b + 2) = 10\)
\((2a — 1) + 2(3b + 2) = 4\)
\(4a — 2 — 3b — 2 = 10\)
\(2a — 1 + 6b + 4 = 4\)
\(4a — 3b = 14\)
\(2a + 6b = 1\)
Умножаем второе на -2 и складываем с первым:
\(4a — 3b = 14\)
\(-4a — 12b = -2\)
\(-15b = 12\)
\(b = -\frac{4}{5}\)
— нашли \(b\)
\(2a + 6(-\frac{4}{5}) = 1\)
\(2a — \frac{24}{5} = 1\)
\(2a = \frac{29}{5}\)
\(a = \frac{29}{10}\)
— нашли \(a\)
д)
\( a = \frac{29}{10} \), \( b = -\frac{4}{5} \)
Решение:
е)
Дано:
\[
x = 2a — 1
\]
\[
y = 3b + 2
\]
И система уравнений:
\[
\begin{cases}
2(2a — 1) + (3b + 2) = 20 \\
2a — 1 — 3(3b + 2) = -25
\end{cases}
\]
Шаг 1: Упростим первое уравнение
Раскроем скобки в первом уравнении:
\[
2(2a — 1) + (3b + 2) = 20
\]
Это дает:
\[
4a — 2 + 3b + 2 = 20
\]
Упрощаем:
\[
4a + 3b = 20
\]
Шаг 2: Упростим второе уравнение
Теперь раскроем скобки во втором уравнении:
\[
2a — 1 — 3(3b + 2) = -25
\]
Это дает:
\[
2a — 1 — 9b — 6 = -25
\]
Упрощаем:
\[
2a — 9b — 7 = -25
\]
Прибавим 7 к обеим сторонам:
\[
2a — 9b = -18 \tag{2}
\]
Шаг 3: Запишем систему уравнений
Теперь у нас есть система уравнений:
\[
\begin{cases}
4a + 3b = 20 \\
2a — 9b = -18
\end{cases}
\]
Шаг 4: Умножим второе уравнение на 2
Умножим второе уравнение на 2, чтобы упростить решение:
\[
4a — 18b = -36 \tag{3}
\]
Теперь у нас есть:
\[
\begin{cases}
4a + 3b = 20 \\
4a — 18b = -36
\end{cases}
\]
Шаг 5: Выразим \(b\)
Теперь вычтем первое уравнение из второго:
\[
(4a — 18b) — (4a + 3b) = -36 — 20
\]
Это упрощается до:
\[
-21b = -56
\]
Разделим обе стороны на -21:
\[
b = \frac{56}{21} = \frac{8}{3}
\]
Шаг 6: Подставим значение \(b\) в первое уравнение
Теперь подставим найденное значение \(b\) в первое уравнение:
\[
4a + 3\left(\frac{8}{3}\right) = 20
\]
Упрощаем:
\[
4a + 8 = 20
\]
Вычтем 8 из обеих сторон:
\[
4a = 12
\]
Разделим обе стороны на 4:
\[
a = 3
\]
Итоговые значения
Теперь мы нашли значения переменных:
— \(a = 3\)
— \(b = \frac{8}{3}\)
Проверка
1. Подставим \(a\) и \(b\) обратно в уравнения для \(x\) и \(y\):
\[
x = 2a — 1 = 2(3) — 1 = 6 — 1 = 5
\]
\[
y = 3b + 2 = 3\left(\frac{8}{3}\right) + 2 = 8 + 2 = 10
\]
2. Проверим, удовлетворяют ли найденные значения исходным уравнениям:
— Для первого уравнения:
\[
2(5) + 10 = 20 \quad \text{(верно)}
\]
— Для второго уравнения:
\[
5 — 9(10) = -25 \quad \text{(верно)}
\]
