Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 3 Вопросы Мордкович — Подробные Ответы
1. Что называют системой двух линейных уравнений с двумя переменными?
2. Что называют решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными?
3. В каком случае систему двух линейных уравнений с двумя переменными называют неопределённой?
4. В каком случае систему двух линейных уравнений с двумя переменными называют несовместной?
5. В чём состоит графический метод решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными?
6. Как для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными используется метод подстановки?
7. Как для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными используется метод алгебраического сложения?
1) Система двух линейных уравнений с двумя переменными:
\( \begin{cases}
ax + by = c \\
dx + ey = f
\end{cases} \)
2) Решение системы: пара чисел \( (x; y) \)
, удовлетворяющая обоим уравнениям.
3) Система неопределённая: система имеет бесконечное множество решений.
4) Система несовместная: система не имеет решений.
5) Графический метод:
— Построить графики обоих уравнений.
— Найти точку пересечения графиков.
— Координаты точки пересечения — решение системы.
6) Метод подстановки:
— Выразить одну переменную через другую из одного уравнения.
— Подставить полученное выражение в другое уравнение.
— Решить полученное уравнение с одной переменной.
— Найти значение второй переменной.
7) Метод алгебраического сложения:
— Умножить уравнения на числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.
— Сложить уравнения.
— Решить полученное уравнение с одной переменной.
— Найти значение второй переменной.
1) Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Рассмотрим систему линейных уравнений:
\[
\begin{cases}
ax + by = c \\
dx + ey = f
\end{cases}
\]
где \(x\) и \(y\) — переменные, \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) — коэффициенты, которые могут быть любыми действительными числами.
2) Решение системы
Решение системы — это пара чисел \((x; y)\), которая удовлетворяет обоим уравнениям. Это значит, что подставив найденные значения \(x\) и \(y\) в оба уравнения, мы получим равенства, которые выполняются.
3) Система неопределённая
Система называется неопределённой, если она имеет бесконечное множество решений. Это происходит, когда оба уравнения представляют собой одну и ту же прямую в координатной плоскости. В таком случае, любое значение переменной, удовлетворяющее одному уравнению, будет также удовлетворять и другому.
4) Система несовместная
Система называется несовместной, если она не имеет решений. Это происходит, когда графики обоих уравнений представляют собой параллельные прямые, которые никогда не пересекаются. В этом случае нет ни одной пары \((x; y)\), которая могла бы удовлетворить обоим уравнениям одновременно.
5) Графический метод
Графический метод решения системы линейных уравнений включает следующие шаги:
— Построить графики обоих уравнений: Для этого необходимо выразить каждое уравнение в виде \(y = mx + b\) (где \(m\) — угловой коэффициент, а \(b\) — свободный член) и построить соответствующие прямые на координатной плоскости.
— Найти точку пересечения графиков: Если графики двух уравнений пересекаются, то точка пересечения является решением системы. Если графики совпадают, система имеет бесконечное множество решений. Если графики параллельны, система несовместна.
— Координаты точки пересечения: Координаты точки пересечения \((x; y)\) являются решением системы.
6) Метод подстановки
Метод подстановки включает следующие шаги:
— Выразить одну переменную через другую: Из одного из уравнений выразим одну переменную через другую. Например, из уравнения \(ax + by = c\) можно выразить \(y\):
\[
y = \frac{c — ax}{b}
\]
— Подставить полученное выражение в другое уравнение: Полученное выражение для \(y\) подставляем во второе уравнение:
\[
dx + e\left(\frac{c — ax}{b}\right) = f
\]
— Решить полученное уравнение с одной переменной: Упрощаем уравнение и находим значение \(x\).
— Найти значение второй переменной: Подставляем найденное значение \(x\) обратно в выражение для \(y\), чтобы найти значение второй переменной.
7) Метод алгебраического сложения
Метод алгебраического сложения включает следующие шаги:
— Умножить уравнения на числа: Умножаем одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Например, если в первом уравнении коэффициент при \(x\) равен \(a\), а во втором — \(d\), можно умножить первое уравнение на \(d\), а второе — на \(a\).
— Сложить уравнения: После умножения складываем уравнения. Это позволит избавиться от одной из переменных:
\[
(d \cdot ax + d \cdot by) + (a \cdot dx + a \cdot ey) = d \cdot c + a \cdot f
\]
— Решить полученное уравнение с одной переменной: После сложения уравнений получаем уравнение с одной переменной, которое можно решить.
— Найти значение второй переменной: После нахождения значения одной переменной подставляем его в одно из исходных уравнений, чтобы найти значение второй переменной.
Заключение
Системы линейных уравнений могут быть решены различными методами, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Выбор метода зависит от конкретной задачи и удобства для решения.
