Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 5 Дополнительная задача 12 Мордкович — Подробные Ответы
Для целых чисел докажите, что: а) если разность двух чисел чётна, то чётна и их сумма; б) если сумма двух чисел чётна, то чётна и их разность; в) если разность двух чисел нечётна, то нечётна и их сумма; г) если сумма двух чисел нечётна, то нечётна и их разность; д) если квадрат разности чётен, то он делится на 4 без остатка; е) квадрат числа либо кратен 4, либо даёт при делении на 4 остаток 1.
а) Разность двух чисел четна → Сумма четна
Если \( a — b = 2k \) (четная разность), то:
\[
a = 2k + b
\]
Сумма:
\[
a + b = (2k + b) + b = 2k + 2b = 2(k + b) \quad \text{(четная)}
\]
б) Сумма двух чисел четна → Разность четна
Если \( a + b = 2k \) (четная сумма), то:
\[
a = 2k — b
\]
Разность:
\[
a — b = (2k — b) — b = 2k — 2b = 2(k — b) \quad \text{(четная)}
\]
в) Разность двух чисел нечётна → Сумма нечётна
Если \( a — b = 2k + 1 \) (нечетная разность), то:
\[
a = 2k + 1 + b
\]
Сумма:
\[
a + b = (2k + 1 + b) + b = 2k + 2b + 1 = 2(k + b) + 1 \quad \text{(нечетная)}
\]
г) Сумма двух чисел нечётна → Разность нечётна
Если \( a + b = 2k + 1 \) (нечетная сумма), то:
\[
a = 2k + 1 — b
\]
Разность:
\[
a — b = (2k + 1 — b) — b = 2k — 2b + 1 = 2(k — b) + 1 \quad \text{(нечетная)}
\]
д) Квадрат разности четен → Делится на 4
Если \( (a — b)^2 = 2k \) (четный квадрат), то:
\[
a — b = 2m \quad \text{(четная разность)}
\]
Квадрат:
\[
(a — b)^2 = (2m)^2 = 4m^2 \quad \text{(делится на 4)}
\]
е) Квадрат числа либо кратен 4, либо дает остаток 1 при делении на 4
Если \( a = 2k \) (четное):
\[
a^2 = (2k)^2 = 4k^2 \quad \text{(кратно 4)}
\]
Если \( a = 2k + 1 \) (нечетное):
\[
a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1 \quad \text{(остаток 1)}
\]
Условие: Доказать утверждения о четности/нечетности чисел и их сумм/разностей, а также о квадрате разности и квадрате числа.
Решение:
а) Если разность двух чисел чётна, то чётна и их сумма.
\( a — b = 2k \)
— разность четна
\( a = 2k + b \)
— выразим \(a\)
\( a + b = 2k + b + b = 2k + 2b = 2(k+b) \)
— сумма четна
б) Если сумма двух чисел чётна, то чётна и их разность.
\( a + b = 2k \)
— сумма четна
\( a = 2k — b \)
— выразим \(a\)
\( a — b = 2k — b — b = 2k — 2b = 2(k-b) \)
— разность четна
в) Если разность двух чисел нечётна, то нечётна и их сумма.
\( a — b = 2k + 1 \)
— разность нечетна
\( a = 2k + 1 + b \)
— выразим \(a\)
\( a + b = 2k + 1 + b + b = 2k + 2b + 1 = 2(k+b) + 1 \)
— сумма нечетна
г) Если сумма двух чисел нечётна, то нечётна и их разность.
\( a + b = 2k + 1 \)
— сумма нечетна
\( a = 2k + 1 — b \)
— выразим \(a\)
\( a — b = 2k + 1 — b — b = 2k — 2b + 1 = 2(k-b) + 1 \)
— разность нечетна
д) Если квадрат разности чётен, то он делится на 4 без остатка.
\( (a — b)^2 = 2k \)
— квадрат разности четен, значит \(a-b\)
четно
\( a — b = 2m \)
— разность четна
\( (a — b)^2 = (2m)^2 = 4m^2 \)
— делится на 4
е) Квадрат числа либо кратен 4, либо даёт при делении на 4 остаток 1.
Если \( a = 2k \)
— число четное
\( a^2 = (2k)^2 = 4k^2 \)
— кратно 4
Если \( a = 2k + 1 \)
— число нечетное
\( a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1 \)
— остаток 1
Утверждения доказаны.
