ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 5 Дополнительная задача 13 Мордкович — Подробные Ответы

Для целых чисел докажите, что: а) произведение двух последовательных чисел чётно; б) произведение двух последовательных чётных чисел кратно 8; в) разность квадратов двух последовательных чётных чисел кратна 4; г) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел кратна 8; д) если разность квадратов чётна, то она кратна 4; е) разность квадратов при делении на 4 не может давать в остатке 2.

Свойства целых чисел

а) Произведение двух последовательных чисел четно
\( n(n+1) \):
— Если \( n \) четное: \( n = 2k \) ⇒ четное.
— Если \( n \) нечетное: \( n = 2k+1 \) ⇒ четное.

б) Произведение двух последовательных четных чисел кратно 8
\( 2n(2n+2) = 4n(n+1) \):
— \( n(n+1) \) четное ⇒ \( 4n(n+1) = 8k \).

в) Разность квадратов двух последовательных четных чисел кратна 4
\[
(2n+2)^2 — (2n)^2 = 8n + 4 = 4(2n+1) \quad \text{(кратно 4)}
\]

г) Разность квадратов двух последовательных нечётных чисел кратна 8
\[
(2n+3)^2 — (2n+1)^2 = 8(n+1) \quad \text{(кратно 8)}
\]

д) Если разность квадратов четна, то кратна 4
— Если \( a, b \) оба четные или оба нечетные, то \( a^2 — b^2 \equiv 0 \pmod{4} \).

е) Разность квадратов не может давать остаток 2
— Четные: \( a^2 — b^2 \equiv 0 \).
— Нечетные: \( a^2 — b^2 \equiv 0 \).
— Четное и нечетное: \( a^2 — b^2 \equiv 3 \) или \( 1 \).

Остаток 2 невозможен.

Условие: Доказать свойства целых чисел.

Решение:

а) Произведение двух последовательных чисел чётно.
\(n(n+1)\)
— произведение двух последовательных чисел
Если \(n\)
чётное, то \(n = 2k\), тогда \(2k(2k+1)\)
— чётное.
Если \(n\)
нечётное, то \(n = 2k+1\), тогда \((2k+1)(2k+2) = 2(2k+1)(k+1)\)
— чётное.

б) Произведение двух последовательных чётных чисел кратно 8.
\(2n(2n+2)\)
— произведение двух последовательных чётных чисел
\(2n(2n+2) = 4n(n+1)\)

\(n(n+1)\)
— всегда чётное (доказано в пункте

а), значит \(n(n+1) = 2k\)

\(4n(n+1) = 4 \cdot 2k = 8k\)
— кратно 8.

в) Разность квадратов двух последовательных чётных чисел кратна 4.
\((2n+2)^2 — (2n)^2\)
— разность квадратов
\((2n+2)^2 — (2n)^2 = 4n^2 + 8n + 4 — 4n^2 = 8n + 4 = 4(2n+1)\)
— кратно 4.

г) Разность квадратов двух последовательных нечётных чисел кратна 8.
\((2n+3)^2 — (2n+1)^2\)
— разность квадратов
\((2n+3)^2 — (2n+1)^2 = 4n^2 + 12n + 9 — (4n^2 + 4n + 1)\)

\(= 8n + 8 = 8(n+1)\)
— кратно 8.

д) Если разность квадратов чётна, то она кратна 4.
\(a^2 — b^2\)
— разность квадратов
Если \(a^2 — b^2\)
чётна, то либо \(a\) и \(b\)
оба чётные, либо оба нечётные.
Если \(a = 2k, b = 2m\), то \(a^2 — b^2 = 4k^2 — 4m^2 = 4(k^2 — m^2)\)
— кратно 4.
Если \(a = 2k+1, b = 2m+1\), то \(a^2 — b^2 = (4k^2 + 4k + 1)\)

\(- (4m^2 + 4m + 1) = 4(k^2 + k — m^2 — m)\)
— кратно 4.

е) Разность квадратов при делении на 4 не может давать в остатке 2.
\(a^2 — b^2 \pmod{4}\)

Если \(a\) и \(b\) чётные, то \(a^2 — b^2 \equiv 0 \pmod{4}\)

Если \(a\) и \(b\) нечётные, то \(a^2 — b^2 \equiv 1 — 1 \equiv 0 \pmod{4}\)

Если \(a\) чётное, \(b\)
нечётное, то \(a^2 — b^2 \equiv 0 — 1 \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4}\)

Если \(a\)
нечётное, \(b\)
чётное, то \(a^2 — b^2 \equiv 1 — 0 \equiv 1 \pmod{4}\)

Остаток 2 невозможен.