Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 5 Дополнительная задача 16 Мордкович — Подробные Ответы
Выделяя полный квадрат, найдите наибольшее значение многочлена второй степени: \(а) Р(х) = -х^2 — 2х + 3\); \(б) Р(х) = —х^2 + 6х + 11\); \(в) Р(х) = -2x^2 — 4х + 11\).
а)
\( P(x) = -x^2 — 2x + 3 \)
\( P(x) = -(x^2 + 2x) + 3 \)
\( P(x) = -(x^2 + 2x + 1 — 1) + 3 \)
\( P(x) = -(x + 1)^2 + 1 + 3 \)
\( P(x) = -(x + 1)^2 + 4 \)
\( P_{max} = 4 \)
б)
\( P(x) = -x^2 + 6x + 11 \)
\( P(x) = -(x^2 — 6x) + 11 \)
\( P(x) = -(x^2 — 6x + 9 — 9) + 11 \)
\( P(x) = -(x — 3)^2 + 9 + 11 \)
\( P(x) = -(x — 3)^2 + 20 \)
\( P_{max} = 20 \)
в)
\( P(x) = -2x^2 — 4x + 11 \)
\( P(x) = -2(x^2 + 2x) + 11 \)
\( P(x) = -2(x^2 + 2x + 1 — 1) + 11 \)
\( P(x) = -2(x + 1)^2 + 2 + 11 \)
\( P(x) = -2(x + 1)^2 + 13 \)
\( P_{max} = 13 \)
Условие: Найти наибольшее значение многочлена, выделяя полный квадрат:
а)
\(P(x) = -x^2 — 2x + 3\);
б)
\(P(x) = -x^2 + 6x + 11\);
в)
\(P(x) = -2x^2 — 4x + 11\).
Решение:
а)
\(P(x) = -x^2 — 2x + 3\)
\(P(x) = -(x^2 + 2x) + 3\)
— выносим минус
\(P(x) = -(x^2 + 2x + 1 — 1) + 3\)
— добавляем и вычитаем 1
\(P(x) = -((x + 1)^2 — 1) + 3\)
— выделяем полный квадрат
\(P(x) = -(x + 1)^2 + 1 + 3\)
— раскрываем скобки
\(P(x) = -(x + 1)^2 + 4\)
— упрощаем
Наибольшее значение достигается при \((x + 1)^2 = 0\), то есть при \(x = -1\).
б)
\(P(x) = -x^2 + 6x + 11\)
\(P(x) = -(x^2 — 6x) + 11\)
— выносим минус
\(P(x) = -(x^2 — 6x + 9 — 9) + 11\)
— добавляем и вычитаем 9
\(P(x) = -((x — 3)^2 — 9) + 11\)
— выделяем полный квадрат
\(P(x) = -(x — 3)^2 + 9 + 11\)
— раскрываем скобки
\(P(x) = -(x — 3)^2 + 20\)
— упрощаем
Наибольшее значение достигается при \((x — 3)^2 = 0\), то есть при \(x = 3\).
в)
\(P(x) = -2x^2 — 4x + 11\)
\(P(x) = -2(x^2 + 2x) + 11\)
— выносим -2
\(P(x) = -2(x^2 + 2x + 1 — 1) + 11\)
— добавляем и вычитаем 1
\(P(x) = -2((x + 1)^2 — 1) + 11\)
— выделяем полный квадрат
\(P(x) = -2(x + 1)^2 + 2 + 11\)
— раскрываем скобки
\(P(x) = -2(x + 1)^2 + 13\)
— упрощаем
Наибольшее значение достигается при \((x + 1)^2 = 0\), то есть при \(x = -1\).
Ответы:
а) 4
б) 20
в) 13
