Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 5 Дополнительная задача 17 Мордкович — Подробные Ответы
Выделяя полный квадрат, докажите, что неравенство верно при всех значениях переменных: \(а) х^2 — 12х + 36,05 > 0; \(б) 2х^2 + 8x + 9 > 0\); в) —х^2 + 6х < 3; г) х^2 — 4ху + 4у^2 ? 0\); \(д) х(х — 1) ? -0,25; е) х^2 — 2ху + у^2 + 6х — 6у + 10 ? 1\).
а)
\( x^2 — 12x + 36.05 > 0 \)
\( (x — 6)^2 + 0.05 > 0 \)
б)
\( 2x^2 + 8x + 9 > 0 \)
\( 2(x^2 + 4x) + 9 > 0 \)
\( 2(x^2 + 4x + 4) + 9 — 8 > 0 \)
\( 2(x + 2)^2 + 1 > 0 \)
в)
\( -x^2 + 6x < 3 \)
\( 0 < x^2 — 6x + 3 \)
\( x^2 — 6x + 9 — 9 + 3 > 0 \)
\( (x — 3)^2 — 6 > -6 \)
\( (x — 3)^2 > -6 \)
\( 0 < (x-3)^2 + 6 \)
г)
\( x^2 — 4xy + 4y^2 \ge 0 \)
\( (x — 2y)^2 \ge 0 \)
д)
\( x(x — 1) \ge -0.25 \)
\( x^2 — x \ge -0.25 \)
\( x^2 — x + 0.25 \ge 0 \)
\( (x — 0.5)^2 \ge 0 \)
е)
\( x^2 — 2xy + y^2 + 6x — 6y + 10 \ge 1 \)
\( (x — y)^2 + 6(x — y) + 10 \ge 1 \)
\( (x — y)^2 + 6(x — y) + 9 + 1 \ge 1 \)
\( (x — y + 3)^2 + 1 \ge 1 \)
\( (x — y + 3)^2 \ge 0 \)
Условие: Доказать неравенства выделением полного квадрата.
Решение:
а)
\( x^2 — 12x + 36.05 > 0 \)
\( (x — 6)^2 + 0.05 > 0 \)
— выделили полный квадрат
Так как квадрат всегда неотрицателен, то неравенство верно.
б)
\( 2x^2 + 8x + 9 > 0 \)
\( 2(x^2 + 4x) + 9 > 0 \)
— вынесли 2
\( 2(x^2 + 4x + 4) + 9 — 8 > 0 \)
— выделили полный квадрат
\( 2(x + 2)^2 + 1 > 0 \)
— упростили
Так как квадрат всегда неотрицателен, то неравенство верно.
в)
\( -x^2 + 6x < 3 \)
\( -x^2 + 6x — 3 < 0 \)
— перенесли 3
\( -(x^2 — 6x) — 3 < 0 \)
— вынесли минус
\( -(x^2 — 6x + 9) — 3 + 9 < 0 \)
— выделили полный квадрат
\( -(x — 3)^2 + 6 < 0 \)
— упростили
\( (x — 3)^2 > 6 \)
— умножили на -1
Неравенство не всегда верно. Например, при \(x = 3\), \((3-3)^2 = 0 < 6\).
г)
\( x^2 — 4xy + 4y^2 \ge 0 \)
\( (x — 2y)^2 \ge 0 \)
— выделили полный квадрат
Квадрат всегда неотрицателен, значит неравенство верно.
д)
\( x(x — 1) \ge -0.25 \)
\( x^2 — x \ge -0.25 \)
— раскрыли скобки
\( x^2 — x + 0.25 \ge 0 \)
— перенесли -0.25
\( (x — 0.5)^2 \ge 0 \)
— выделили полный квадрат
Квадрат всегда неотрицателен, значит неравенство верно.
е)
\( x^2 — 2xy + y^2 + 6x — 6y + 10 \ge 1 \)
\( (x — y)^2 + 6(x — y) + 10 \ge 1 \)
— сгруппировали
\( (x — y)^2 + 6(x — y) + 9 + 1 \ge 1 \)
— выделили полный квадрат
\( (x — y + 3)^2 + 1 \ge 1 \)
— упростили
\( (x — y + 3)^2 \ge 0 \)
— вычли 1
Квадрат всегда неотрицателен, значит неравенство верно.
Ответы:
а) Верно.
б) Верно.
в) Неверно.
г) Верно.
д) Верно.
е) Верно.
