Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 6 Дополнительная задача 1 Мордкович — Подробные Ответы
Докажите, что для всех натуральных n число:
а) \(2n + 2^{n+1} + 2^{n+2}\) кратно 7;
б) \(2^n — 2^{n+1} + 2^{n+2}\) кратно 3;
в) \(3^n + 3^{n+1} + 3^{n+3}\) кратно 31;
г) \(3^n — 3^{n+2} + 3^{n+3}\) кратно 19;
д) \(5^{2n-1} + 5^{2n+1} + 5^{2n+3}\) кратно 3;
е) \(5^n + 5^{n+1} + 5^{n+2} + 5^{n+3}\) кратно 13.
\(а) 2n + 2^(n+1) + 2^(n+2) = 2^n(1 + 2 + 4) = 2^n·7\), кратно 7
\(б) 2^n — 2^(n+1) + 2^(n+2) = 2^n(1 — 2 + 4) = 2^n·3\), кратно 3
\(в) 3^n + 3^(n+1) + 3^(n+3) = 3^n(1 + 3 + 27) = 3^n·31\), кратно 31
\(г) 3^n — 3^(n+2) + 3^(n+3) = 3^n(1 — 9 + 27) = 3^n·19\), кратно 19
\(д) 5^(2n-1) + 5^(2n+1) + 5^(2n+3) = 5^(2n-1)·651\), кратно 3
\(е) 5^n + 5^(n+1) + 5^(n+2) + 5^(n+3) = 5^n·156\), кратно 13
а)
\(2n + 2^{n+1} + 2^{n+2}\)
кратно 7
\(2n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n + 2 \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n\)
— разложение степеней
\(2^n + 2 \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n = 2^n(1 + 2 + 4)\)
— выносим общий множитель
\(2^n(1 + 2 + 4) = 2^n \cdot 7\)
— упрощение
\(2^n \cdot 7\)
кратно 7 — делимость доказана
б)
\(2^n — 2^{n+1} + 2^{n+2}\)
кратно 3
\(2^n — 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n — 2 \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n\)
— разложение степеней
\(2^n — 2 \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n = 2^n(1 — 2 + 4)\)
— выносим общий множитель
\(2^n(1 — 2 + 4) = 2^n \cdot 3\)
— упрощение
\(2^n \cdot 3\)
кратно 3 — делимость доказана
в)
\(3^n + 3^{n+1} + 3^{n+3}\)
кратно 31
\(3^n + 3^{n+1} + 3^{n+3} = 3^n + 3 \cdot 3^n + 27 \cdot 3^n\)
— разложение степеней
\(3^n + 3 \cdot 3^n + 27 \cdot 3^n = 3^n(1 + 3 + 27)\)
— выносим общий множитель
\(3^n(1 + 3 + 27) = 3^n \cdot 31\)
— упрощение
\(3^n \cdot 31\)
кратно 31 — делимость доказана
г)
\(3^n — 3^{n+2} + 3^{n+3}\)
кратно 19
\(3^n — 3^{n+2} + 3^{n+3} = 3^n — 9 \cdot 3^n + 27 \cdot 3^n\)
— разложение степеней
\(3^n — 9 \cdot 3^n + 27 \cdot 3^n = 3^n(1 — 9 + 27)\)
— выносим общий множитель
\(3^n(1 — 9 + 27) = 3^n \cdot 19\)
— упрощение
\(3^n \cdot 19\)
кратно 19 — делимость доказана
д)
\(5^{2n-1} + 5^{2n+1} + 5^{2n+3}\)
кратно 3
\(5^{2n-1} + 5^{2n+1} + 5^{2n+3} = \frac{5^{2n}}{5} + 5 \cdot 5^{2n} + 125 \cdot 5^{2n}\)
— разложение степеней
\(\frac{5^{2n}}{5} + 5 \cdot 5^{2n} + 125 \cdot 5^{2n} = 5^{2n}(\frac{1}{5} + 5 + 125)\)
— выносим общий множитель
\(5^{2n}(\frac{1}{5} + 5 + 125) = 5^{2n} \cdot \frac{1+25+625}{5} = 5^{2n} \cdot \frac{651}{5}\)
— упрощение
\(5^{2n} \cdot \frac{651}{5} = 5^{2n-1} \cdot 651\)
— упрощение
\(651 = 3 \cdot 217\)
— разложение на множители
\(5^{2n-1} \cdot 651 = 5^{2n-1} \cdot 3 \cdot 217\)
— подстановка
\(5^{2n-1} \cdot 3 \cdot 217\)
кратно 3 — делимость доказана
е)
\(5^n + 5^{n+1} + 5^{n+2} + 5^{n+3}\)
кратно 13
\(5^n + 5^{n+1} + 5^{n+2} + 5^{n+3} = 5^n + 5 \cdot 5^n + 25 \cdot 5^n + 125 \cdot 5^n\)
— разложение степеней
\(5^n + 5 \cdot 5^n + 25 \cdot 5^n + 125 \cdot 5^n = 5^n(1 + 5 + 25 + 125)\)
— выносим общий множитель
\(5^n(1 + 5 + 25 + 125) = 5^n \cdot 156\)
— упрощение
\(156 = 13 \cdot 12\)
— разложение на множители
\(5^n \cdot 156 = 5^n \cdot 13 \cdot 12\)
— подстановка
\(5^n \cdot 13 \cdot 12\)
кратно 13 — делимость доказана
Делимость доказана для всех случаев.
