ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 6 Дополнительная задача 2 Мордкович — Подробные Ответы

Представьте многочлен в виде суммы квадратов двух многочленов первой степени: а) 2\(x^{2}\) + 2х + 1; б) 5\(z^{2}\) — 4z + 4; в) 13\(у^{2}\) + 4у + 1; г) 2\(x^{2}\) — 2ху + \(у^{2}\); д) \(а^{2}\) + 2ab + 5\(b^{2}\); е) \(z^{2}\) + 4zt + 8\(t^{2}\) + 4t + 1.

a)
\( 2x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x + 1 + x^2 = (x+1)^2 + x^2 \)

б)
\( 5z^2 — 4z + 4 = 4z^2 — 4z + 1 + z^2 + 3 = (2z-1)^2 + z^2 + 3 \)

\( 5z^2 — 4z + 4 = 4z^2 — 4z + 1 + z^2 + 3 = (2z-1)^2 + (z^2 + 3) \)

\( 5z^2 — 4z + 4 = (2z-1)^2 + (z+\sqrt{3})^2 — 2\sqrt{3}z — 3\)

\(+ 3 = (2z-1)^2 + (z+\sqrt{3})^2 — 2\sqrt{3}z \)

\( 5z^2 — 4z + 4 = (2z-1)^2 + (z+a)^2 \)

\( 5z^2 — 4z + 4 = 4z^2 — 4z + 1 + z^2 + 2az + a^2 \)

\( -4z = 2az \)

\( a = -2 \)

\( 5z^2 — 4z + 4 = (2z-1)^2 + (z-2)^2 — z^2 + 4z — 4\)

\(+ z^2 + 4 = (2z-1)^2 + (z-2)^2 \)

\( 5z^2 — 4z + 4 = (2z)^2 + (z-2)^2 \)

в)
\( 13y^2 + 4y + 1 = (ay+b)^2 + (cy+d)^2 \)

\( 13y^2 + 4y + 1 = a^2y^2 + 2aby + b^2 + c^2y^2 + 2cdy + d^2 \)

\( a^2 + c^2 = 13 \)

\( 2ab + 2cd = 4 \)

\( b^2 + d^2 = 1 \)

\( 13y^2 + 4y + 1 = (3y+0)^2 + (2y+1)^2 = 9y^2 + 4y^2 +\)

\(4y + 1 = 13y^2 + 4y + 1 \)

\( 13y^2 + 4y + 1 = (3y)^2 + (2y+1)^2 \)

г)
\( 2x^2 — 2xy + y^2 = x^2 — 2xy + y^2 + x^2 = (x-y)^2 + x^2 \)

д)
\( a^2 + 2ab + 5b^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 4b^2 = (a+b)^2 + (2b)^2 \)

е)
\( z^2 + 4zt + 8t^2 + 4t + 1 = z^2 + 4zt + 4t^2 + 4t^2 + 4t + 1\)

\(= (z+2t)^2 + (2t+1)^2 \)

a)
Уравнение:

\[
2x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x + 1 + x^2 = (x+1)^2 + x^2
\]

Пояснение:
— Сначала упрощаем левую часть: \(2x^2 + 2x + 1\).
— Затем представляем правую часть как сумму: \(x^2 + 2x + 1\) (это \((x+1)^2\)) и ещё один \(x^2\).
— В итоге получаем: \((x+1)^2 + x^2\).

б)
Уравнение:

\[
5z^2 — 4z + 4 = 4z^2 — 4z + 1 + z^2 + 3 = (2z-1)^2 + z^2 + 3
\]

Пояснение:
— Начинаем с \(5z^2 — 4z + 4\) и разлагаем его на части.
— \(4z^2 — 4z + 1\) можно представить как \((2z-1)^2\), а оставшийся \(z^2 + 3\) оставляем без изменений.
— Далее, мы можем выразить \(5z^2 — 4z + 4\) в виде суммы квадратов: \((2z-1)^2 + (z+\sqrt{3})^2 — 2\sqrt{3}z\).

в)
Уравнение:

\[
13y^2 + 4y + 1 = (ay+b)^2 + (cy+d)^2
\]

Пояснение:
— Разлагаем \(13y^2 + 4y + 1\) на два квадрата.
— Получаем систему уравнений: \(a^2 + c^2 = 13\), \(2ab + 2cd = 4\), \(b^2 + d^2 = 1\).
— Находим конкретные значения, например, \((3y+0)^2 + (2y+1)^2\) дает нужный результат.

г)
Уравнение:

\[
2x^2 — 2xy + y^2 = x^2 — 2xy + y^2 + x^2 = (x-y)^2 + x^2
\]

Пояснение:
— Начинаем с левой части \(2x^2 — 2xy + y^2\).
— Преобразуем её, выделяя полный квадрат: \((x-y)^2\) и добавляя \(x^2\).

д)
Уравнение:

\[
a^2 + 2ab + 5b^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 4b^2 = (a+b)^2 + (2b)^2
\]

Пояснение:
— Исходная форма \(a^2 + 2ab + 5b^2\) делится на два квадрата.
— Мы можем представить её как сумму \((a+b)^2\) и \((2b)^2\).

е)
Уравнение:

\[
z^2 + 4zt + 8t^2 + 4t + 1 = z^2 + 4zt + 4t^2 + 4t^2 +
\]

\[
+ 4t + 1 = (z+2t)^2 + (2t+1)^2
\]

Пояснение:
— Начинаем с \(z^2 + 4zt + 8t^2 + 4t + 1\).
— Разделяем на две части: \((z+2t)^2\) и \((2t+1)^2\), что дает нужный результат.