Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 6 Дополнительная задача 5 Мордкович — Подробные Ответы
Для целых чисел докажите, что: а) если числа последовательные, то разность их квадратов нечётна; б) если числа различаются на 2, то разность их квадратов кратна 4; в) если числа различаются на 4, то разность их квадратов кратна 8; г) если числа различаются на k, то разность их квадратов кратна k; д) если числа различаются на 2k, то разность их квадратов кратна 4k; е) если числа различаются на нечётное число, то разность их квадратов нечётна.
a) Последовательные числа: \(n\) и \(n+1\)
\[
(n+1)^2 — n^2 = n^2 + 2n + 1 — n^2 = 2n + 1
\]
— разность квадратов, \(2n + 1\) — нечётное число.
б) Числа, различающиеся на 2: \(n\) и \(n+2\)
\[
(n+2)^2 — n^2 = n^2 + 4n + 4 — n^2 = 4n + 4 = 4(n+1)
\]
— разность квадратов, \(4(n+1)\) — кратно 4.
в) Числа, различающиеся на 4: \(n\) и \(n+4\)
\[
(n+4)^2 — n^2 = n^2 + 8n + 16 — n^2 = 8n + 16 = 8(n+2)
\]
— разность квадратов, \(8(n+2)\) — кратно 8.
г) Числа, различающиеся на \(k\): \(n\) и \(n+k\)
\[
(n+k)^2 — n^2 = n^2 + 2nk + k^2 — n^2 = 2nk + k^2 = k(2n + k)
\]
— разность квадратов, \(k(2n + k)\) — кратно \(k\).
д) Числа, различающиеся на \(2k\): \(n\) и \(n+2k\)
\[
(n+2k)^2 — n^2 = n^2 + 4nk + 4k^2 — n^2 = 4nk + 4k^2 = 4k(n + k)
\]
— разность квадратов, \(4k(n + k)\) — кратно \(4k\).
е) Числа, различающиеся на нечётное число \(2k+1\): \(n\) и \(n+2k+1\)
\[
(n+2k+1)^2 — n^2 = n^2 + 2n(2k+1)
\]
\[
+ (2k+1)^2 — n^2 = (2k+1)(2n + 2k + 1)
\]
— разность квадратов, \((2k+1)(2n + 2k + 1)\) — нечётное число.
Доказано.
а) Последовательные числа: \(n\) и \(n+1\)
\( (n+1)^2 — n^2 = n^2 + 2n + 1 — n^2 = 2n + 1 \)
— разность квадратов
\( 2n + 1 \)
— нечётное число
б) Числа, различающиеся на 2: \(n\) и \(n+2\)
\( (n+2)^2 — n^2 = n^2 + 4n + 4 — n^2 = 4n + 4 = 4(n+1) \)
— разность квадратов
\( 4(n+1) \)
— кратно 4
в) Числа, различающиеся на 4: \(n\) и \(n+4\)
\( (n+4)^2 — n^2 = n^2 + 8n + 16 — n^2 = 8n + 16 = 8(n+2) \)
— разность квадратов
\( 8(n+2) \)
— кратно 8
г) Числа, различающиеся на \(k\): \(n\) и \(n+k\)
\( (n+k)^2 — n^2 = n^2 + 2nk + k^2 — n^2 = 2nk + k^2 = k(2n + k) \)
— разность квадратов
\( k(2n + k) \)
— кратно \(k\)
д) Числа, различающиеся на \(2k\): \(n\) и \(n+2k\)
\( (n+2k)^2 — n^2 = n^2 + 4nk + 4k^2 — n^2 = 4nk + 4k^2 = 4k(n + k) \)
— разность квадратов
\( 4k(n + k) \)
— кратно \(4k\)
е) Числа, различающиеся на нечётное число \(2k+1\): \(n\) и \(n+2k+1\)
\( (n+2k+1)^2 — n^2 = n^2 + 2n(2k+1) + (2k+1)^2 — n^2\)
\(= 2n(2k+1) + (2k+1)^2 = (2k+1)(2n + 2k + 1) \)
— разность квадратов
\( (2k+1)(2n + 2k + 1) \)
— произведение двух нечётных чисел, следовательно, нечётно
Доказано.
