Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 6 Дополнительная задача 7 Мордкович — Подробные Ответы
Для целых чисел докажите, что: а) если число кратно 3, то его квадрат кратен 9 (и, в частности, кратен 3); б) если число при делении на 3 даёт остаток 1, то его квадрат при делении на 3 также даёт остаток 1; в) если число при делении на 3 даёт остаток 2, то его квадрат при делении на 3 даёт остаток 1; г) квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 3; д) уравнение \(х^{2}\) = 3у + 2 не имеет решений (в целых числах); е) уравнение \(х^{2}\) + 4ху + \(у^{2}\) = Зу + 2 не имеет решений (в целых числах).
a) Кратность 3
Если \( a = 3k \) (число кратно 3), то
\[
a^2 = (3k)^2 = 9k^2
\]
— квадрат кратен 9.
б) Остаток 1
Если \( a = 3k + 1 \) (число с остатком 1), то
\[
a^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1
\]
— квадрат с остатком 1.
в) Остаток 2
Если \( a = 3k + 2 \) (число с остатком 2), то
\[
a^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1
\]
— квадрат с остатком 1.
г) Остаток 2 невозможен
Квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 3. Из пунктов a, b и c следует, что квадрат может быть кратен 3 (остаток 0) или давать остаток 1.
д) Уравнение \(x^2 = 3y + 2\)
Не имеет решений в целых числах, так как \( x^2 \) не может давать остаток 2 при делении на 3 (пункт г).
е) Уравнение \(x^2 + 4xy + y^2 = 3z + 2\)
Не имеет решений в целых числах. Преобразуем:
\[
(x + 2y)^2 = 3(y^2 + z) + 2
\]
\( (x + 2y)^2 \) должно давать остаток 2 при делении на 3, что невозможно (пункт г).
а) Если число кратно 3, то его квадрат кратен 9.
\( a = 3k \)
— число кратно 3
\( a^2 = (3k)^2 = 9k^2 \)
— квадрат кратен 9
б) Если число при делении на 3 даёт остаток 1, то его квадрат при делении на 3 также даёт остаток 1.
\( a = 3k + 1 \)
— число с остатком 1
\( a^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 \)
— квадрат с остатком 1
в) Если число при делении на 3 даёт остаток 2, то его квадрат при делении на 3 даёт остаток 1.
\( a = 3k + 2 \)
— число с остатком 2
\( a^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4\)
\(= 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 \)
— квадрат с остатком 1
г) Квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 3.
Из пунктов а, б, в следует, что квадрат числа может быть кратен 3 (остаток 0) или давать остаток 1 при делении на 3. Остаток 2 невозможен.
д) Уравнение \(x^2 = 3y + 2\)
не имеет решений в целых числах.
\( x^2 \)
должен давать остаток 2 при делении на 3, что невозможно (пункт г).
е) Уравнение \(x^2 + 4xy + y^2 = 3z + 2\)
не имеет решений в целых числах.
Преобразуем левую часть:
\( x^2 + 4xy + y^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 — 3y^2 = (x + 2y)^2 — 3y^2 \)
Перепишем уравнение:
\( (x + 2y)^2 = 3y^2 + 3z + 2 = 3(y^2 + z) + 2 \)
Получаем, что \( (x + 2y)^2 \)
должно давать остаток 2 при делении на 3, что невозможно (пункт г).
Доказано.
