Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 6 Дополнительная задача 8 Мордкович — Подробные Ответы
Докажите тождество: а) \(х^{4}\) — 1 = (х — 1)(\(x^{3}\) + \(х^{2}\) + x + 1); б) \(х^{4}\) — \(у^{4}\) = (х — у)(\(х^{3}\) + \(х^{2}\) у + \(ху^{2}\) + \(у^{2}\)); в) \(х^{5}\) — \(у^{5}\) = (х — у)(\(x^{4}\) + \(х^{2}\) у + \(х^{2}\) \(у^{2}\) + \(ху^{2}\) + \(у^{4}\)); г) \(х^n — у^2 n\) = \((х — у)(х^(n-1) + х^(n-2) у + х^(n-3)\) \(у^{2}\) + … + \(хy^(n-2) + у^(n-1))\)
а)
\( (x — 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 + x^3 + x^2 + x — x^3 — x^2 — x — 1 = x^4 — 1 \)
б)
\( (x — y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) = x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 — x^3y\)
\(- x^2y^2 — xy^3 — y^4 = x^4 — y^4 \)
в)
\( (x — y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = x^5 + x^4y + x^3y^2\)
\(+ x^2y^3 + xy^4 — x^4y — x^3y^2 — x^2y^3 — xy^4 — y^5 = x^5 — y^5 \)
г)
\( (x — y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + … + xy^{n-2} + y^{n-1})\)
\(= x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + … + x^2y^{n-2} + xy^{n-1}\)
\(- x^{n-1}y — x^{n-2}y^2 — x^{n-3}y^3 — … — xy^{n-1} — y^n = x^n — y^n \)
а)
\(x^4 — 1 = (x — 1)(x^3 + x^2 + x + 1)\)
Раскроем скобки в правой части:
\( (x — 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 + x^3 + x^2 + x — x^3 — x^2 — x — 1 \)
— раскрытие скобок
\( = x^4 — 1 \)
— упрощение
б)
\(x^4 — y^4 = (x — y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)\)
Раскроем скобки в правой части:
\( (x — y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) = x^4 + x^3y + x^2y^2\)
\(+ xy^3 — x^3y — x^2y^2 — xy^3 — y^4 \)
— раскрытие скобок
\( = x^4 — y^4 \)
— упрощение
в)
\(x^5 — y^5 = (x — y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)\)
Раскроем скобки в правой части:
\( (x — y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = x^5 + x^4y +\)
\(x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4 — x^4y — x^3y^2 — x^2y^3 — xy^4 — y^5 \)
— раскрытие скобок
\( = x^5 — y^5 \)
— упрощение
г)
\(x^n — y^n = (x — y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + … + xy^{n-2} + y^{n-1})\)
Раскроем скобки в правой части:
\( (x — y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + … + xy^{n-2} + y^{n-1}) = \)
\( = x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + … + x^2y^{n-2} + xy^{n-1} — x^{n-1}y\)
\(- x^{n-2}y^2 — … — x^2y^{n-2} — xy^{n-1} — y^n \)
— раскрытие скобок
\( = x^n — y^n \)
— упрощение
Тождества доказаны.
