ГДЗ по Алгебре 7 Класс Глава 6 Дополнительная задача 9 Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение: а) 3\(х^{2}\) + 10x + 3 = 0; г) 4\(у^{4}\) — 5\(у^{2}\) +1 = 0; б) \(z^{5}\) + 8\(z^{4}\) + 15\(z^{3}\) = 0; д) 9t + 9 — \(t^{2}\) — \(t^{3}\) = 0; в) \(b^{4}\) + 4\(b^{2}\) — 5 = 0; е) \(х^{3}\) + 2\(х^{2}\) — 4x — 8 = 0.

a)
\(3x^2 + 10x + 3 = 0\)

\(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\)

\(x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\)

\(x_2 = \frac{-10 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 — 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3\)

б)
\(z^5 + 8z^4 + 15z^3 = 0\)

\(z^3(z^2 + 8z + 15) = 0\)

\(z_1 = 0\)

\(z^2 + 8z + 15 = 0\)

\(D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4\)

\(z_2 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

\(z_3 = \frac{-8 — \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 — 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)

в)
\(b^4 + 4b^2 — 5 = 0\)

\(t = b^2\)

\(t^2 + 4t — 5 = 0\)

\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)

\(t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

\(t_2 = \frac{-4 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 — 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)

\(b^2 = 1\)

\(b_1 = 1\)

\(b_2 = -1\)

\(b^2 = -5\)
— нет решений

г)
\(4y^4 — 5y^2 + 1 = 0\)

\(t = y^2\)

\(4t^2 — 5t + 1 = 0\)

\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 — 16 = 9\)

\(t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1\)

\(t_2 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 — 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)

\(y^2 = 1\)

\(y_1 = 1\)

\(y_2 = -1\)

\(y^2 = \frac{1}{4}\)

\(y_3 = \frac{1}{2}\)

\(y_4 = -\frac{1}{2}\)

д)
\(9t + 9 — t^2 — t^3 = 0\)

\(-t^3 — t^2 + 9t + 9 = 0\)

\(t^3 + t^2 — 9t — 9 = 0\)

\(t^2(t + 1) — 9(t + 1) = 0\)

\((t + 1)(t^2 — 9) = 0\)

\(t_1 = -1\)

\(t^2 — 9 = 0\)

\(t^2 = 9\)

\(t_2 = 3\)

\(t_3 = -3\)

е)
\(x^3 + 2x^2 — 4x — 8 = 0\)

\(x^2(x + 2) — 4(x + 2) = 0\)

\((x + 2)(x^2 — 4) = 0\)

\(x_1 = -2\)

\(x^2 — 4 = 0\)

\(x^2 = 4\)

\(x_2 = 2\)

\(x_3 = -2\)

а)
\(3x^2 + 10x + 3 = 0\)

\(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\)
— дискриминант
\(x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\)
— первый корень
\(x_2 = \frac{-10 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 — 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3\)
— второй корень

б)
\(z^5 + 8z^4 + 15z^3 = 0\)

\(z^3(z^2 + 8z + 15) = 0\)
— выносим общий множитель
\(z_1 = 0\)
— первый корень (кратности 3)
\(z^2 + 8z + 15 = 0\)
— квадратное уравнение
\(D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4\)
— дискриминант
\(z_2 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 + 2}{2} = -3\)
— второй корень
\(z_3 = \frac{-8 — \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 — 2}{2} = -5\)
— третий корень

в)
\(b^4 + 4b^2 — 5 = 0\)

Пусть \(y = b^2\)
, тогда \(y^2 + 4y — 5 = 0\)
— замена переменной
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)
— дискриминант
\(y_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1\)
— первый корень
\(y_2 = \frac{-4 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 — 6}{2} = -5\)
— второй корень
\(b^2 = 1 \Rightarrow b_1 = 1, b_2 = -1\)
— возвращаемся к \(b\)

\(b^2 = -5\)
— нет решений

г)
\(4y^4 — 5y^2 + 1 = 0\)

Пусть \(z = y^2\), тогда \(4z^2 — 5z + 1 = 0\)
— замена переменной
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 — 16 = 9\)
— дискриминант
\(z_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = 1\)
— первый корень
\(z_2 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 — 3}{8} = \frac{1}{4}\)
— второй корень
\(y^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1, y_2 = -1\)
— возвращаемся к \(y\)

\(y^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow y_3 = \frac{1}{2}, y_4 = -\frac{1}{2}\)
— возвращаемся к \(y\)

д)
\(9t + 9 — t^2 — t^3 = 0\)

\(-t^3 — t^2 + 9t + 9 = 0\)
— перегруппировка
\(-t^2(t + 1) + 9(t + 1) = 0\)
— выносим общий множитель
\((t + 1)(-t^2 + 9) = 0\)
— выносим общий множитель
\(t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = -1\)
— первый корень
\(-t^2 + 9 = 0 \Rightarrow t^2 = 9 \Rightarrow t_2 = 3, t_3 = -3\)
— остальные корни

е)
\(x^3 + 2x^2 — 4x — 8 = 0\)

\(x^2(x + 2) — 4(x + 2) = 0\)
— группировка
\((x + 2)(x^2 — 4) = 0\)
— выносим общий множитель
\(x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2\)
— первый корень
\(x^2 — 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_2 = 2, x_3 = -2\)
— остальные корни

а)
\(x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = -3\)

б)
\(z_1 = 0, z_2 = -3, z_3 = -5\)

в)
\(b_1 = 1, b_2 = -1\)

г)
\(y_1 = 1, y_2 = -1, y_3 = \frac{1}{2}, y_4 = -\frac{1}{2}\)

д)
\(t_1 = -1, t_2 = 3, t_3 = -3\)

е)
\(x_1 = -2, x_2 = 2\)