ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.12 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения линейной функции: а) у = 1,5x на отрезке [-4; 2]; б) у = 2,5x + 1 на отрезке [—6; 0].

а) \( y = 1{,}5x \), \( x \in [-4; 2] \).
\( y = 1{,}5x \Longrightarrow \) возрастающая функция, значит, наименьшее значение этой функции на отрезке \( [-4; 2] \) при \( x = -4 \), а наибольшее — при \( x = 2 \).

Таким образом:
\( y_{\text{наим}} = 1{,}5 \cdot (-4) = -6 \);
\( y_{\text{наиб}} = 1{,}5 \cdot 2 = 3 \).
Ответ: \( y_{\text{наим}} = -6 \); \( y_{\text{наиб}} = 3 \).

б) \( y = 2{,}5x + 1 \), \( x \in [-6; 0] \).
\( y = 2{,}5x + 1 \Longrightarrow \) возрастающая функция, значит, наименьшее значение этой функции на отрезке \( [-6; 0] \) при \( x = -6 \), а наибольшее — при \( x = 0 \).

Таким образом:
\( y_{\text{наим}} = 2{,}5 \cdot (-6) + 1 = -15 + 1 = -14 \);
\( y_{\text{наиб}} = 2{,}5 \cdot 0 + 1 = 1 \).
Ответ: \( y_{\text{наим}} = -14 \); \( y_{\text{наиб}} = 1 \).

Для линейной функции вида \( y = kx + m \), заданной на замкнутом отрезке, наибольшее и наименьшее значения всегда достигаются на концах отрезка.
Направление монотонности (возрастание или убывание) определяется знаком углового коэффициента \( k \):

— если \( k > 0 \) — функция возрастает,
→ наименьшее значение — в левом конце, наибольшее — в правом;
— если \( k < 0 \) — функция убывает,
→ наименьшее значение — в правом конце, наибольшее — в левом.

В обоих пунктах функции возрастают, следовательно, экстремумы находятся на концах указанных отрезков.

а) \( y = 1{,}5x \), \( x \in [-4; 2] \)

Угловой коэффициент: \( k = 1{,}5 > 0 \) → функция возрастает.

Следовательно:
— наименьшее значение достигается при \( x = -4 \),
— наибольшее значение — при \( x = 2 \).

Вычислим:

— При \( x = -4 \):
\( y_{\text{наим}} = 1{,}5 \cdot (-4) = -6 \)

— При \( x = 2 \):
\( y_{\text{наиб}} = 1{,}5 \cdot 2 = 3 \)

Таким образом, на отрезке \( [-4; 2] \) функция принимает значения от \( -6 \) до \( 3 \).

Ответ:
\( y_{\text{наим}} = -6 \),
\( y_{\text{наиб}} = 3 \)

б) \( y = 2{,}5x + 1 \), \( x \in [-6; 0] \)

Угловой коэффициент: \( k = 2{,}5 > 0 \) → функция возрастает.

Следовательно:
— наименьшее значение — при \( x = -6 \),
— наибольшее значение — при \( x = 0 \).

Вычислим:

— При \( x = -6 \):
\( y = 2{,}5 \cdot (-6) + 1 = -15 + 1 = -14 \)
→ \( y_{\text{наим}} = -14 \)

— При \( x = 0 \):
\( y = 2{,}5 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1 \)
→ \( y_{\text{наиб}} = 1 \)

Таким образом, на отрезке \( [-6; 0] \) функция изменяется от \( -14 \) до \( 1 \).

Ответ:
\( y_{\text{наим}} = -14 \),
\( y_{\text{наиб}} = 1 \)

Вывод:
В обоих случаях использована монотонность линейной функции.
Поскольку области определения — замкнутые отрезки, экстремальные значения достигаются на границах.
Все вычисления подтверждены подстановкой и соответствуют свойствам линейных функций.