ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1.10 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение выражения, предварительно составив план вычислений:

а)

\[
\frac{5}{37} \cdot \left( \frac{11}{14} + 1\frac{1}{3} + \frac{27}{28} \right) +
\]

\[
+ 1\frac{1}{32} \cdot \left( 1\frac{3}{14} + \frac{2}{11} + \frac{9}{154} \right) \frac{19}{84} : \left( 5\frac{13}{42} — 2\frac{13}{28} + \frac{5}{24} \right)
\]

б)
\[\left(13\frac{1}{4} — 2\frac{5}{27} — 10\frac{5}{6}\right) : 2\frac{1}{12}\left(3\frac{1}{12}+ 2\frac{7}{20} + 4\frac{11}{30}\right)\]

\[: \left(3\frac{7}{24} + 2\frac{3}{20} — 7\frac{3}{40}\right)\]

а)

\[
\frac{5}{37} \cdot \left( \frac{11}{14} + 1\frac{1}{3} + \frac{27}{28} \right) +
\]

\[
+ 1\frac{1}{32} \cdot \left( 1\frac{3}{14} + \frac{2}{11} + \frac{9}{154} \right) \frac{19}{84} : \left( 5\frac{13}{42} — 2\frac{13}{28} + \frac{5}{24}=67{,}5 \right)
\]

Обозначим числитель данного числового выражения буквой \(A\), а знаменатель — буквой \(B\):

\[
A = 1\frac{5}{37} \cdot \left( \frac{11}{14} + 1\frac{1}{3} + \frac{27}{28} \right) + 1\frac{1}{32} \cdot \left( 1\frac{3}{14} + \frac{2}{11} + \frac{9}{154} \right)
\]

\[
B = \frac{19}{84} : \left( 5\frac{13}{42} — 2\frac{13}{28} + \frac{5}{24} \right)
\]

В выражении \(A\) обозначим первое слагаемое буквой \(C\), а второе — буквой \(D\).

В выражении \(C\) обозначим первый множитель буквой \(P\), а второй — буквой \(Q\).

В выражении \(D\) обозначим первый множитель буквой \(T\), а второй — буквой \(R\).

В выражении \(B\) обозначим делимое буквой \(M\), а делитель — буквой \(N\).

Схематически заданное числовое выражение выглядит так:

\[
\frac{P \cdot Q + T \cdot R}{M : N}
\]

Тогда план наших действий будет таков:

1) найдем значение \(q\) выражения \(Q\);

2) умножив \(p\) на \(q\), найдем значение \(c\) выражения \(C\);

3) найдем значение \(r\) выражения \(R\);

4) умножив \(t\) на \(r\), найдем значение \(d\) выражения \(D\);

5) сложив \(c\) и \(d\), найдем значение \(a\) выражения \(A\);

6) найдем значение \(n\) выражения \(N\);

7) разделив \(m\) на \(n\), найдем значение \(b\) выражения \(B\);

8) разделив \(a\) на \(b\), найдем значение заданного числового выражения.

Вот текст изображения, записанный через `\frac`:

Приступим к реализации этого плана:

1)
\[Q = \frac{11}{14} + 1\frac{1}{3} + \frac{27}{28} = \frac{22}{28} + \frac{27}{28} + 1\frac{1}{3} = \frac{49}{28} + 1\frac{1}{3}\]

\[= \frac{7}{4} + 1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{4} + 1\frac{1}{3} = 1\frac{9}{12} + 1\frac{4}{12} = 2\frac{13}{12} = 3\frac{1}{12}\]

2)
\[
C = 1\frac{5}{37} \cdot 3\frac{1}{12} = \frac{42}{37} \cdot \frac{37}{12} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}
\]

3)
\[
R = 1\frac{3}{14} + \frac{2}{11} + \frac{9}{154} = 1\frac{33}{154} + \frac{28}{154} + \frac{9}{154} = 1\frac{70}{154} = 1\frac{5}{11}
\]

4)
\[
D = 1\frac{1}{32} \cdot 1\frac{5}{11} = \frac{33}{32} \cdot \frac{16}{11} = \frac{33 \cdot 16}{32 \cdot 11} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}
\]

5)
\[
A = 3\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} = 5
\]

6)
\[N = 5\frac{13}{42} — 2\frac{13}{28} + \frac{5}{24} = 5\frac{52}{168} — 2\frac{78}{168} + \frac{35}{168}\]

\[= 5\frac{87}{168} — 2\frac{78}{168} = 3\frac{9}{168} = 3\frac{3}{56}\]

7)
\[
B = \frac{19}{84} : 3\frac{3}{56} = \frac{19}{84} : \frac{171}{56} = \frac{19 \cdot 56}{84 \cdot 171} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 9} = \frac{2}{27}
\]

8)
\[
5 : \frac{2}{27} = 5 \cdot \frac{27}{2} = \frac{135}{2} = 67\frac{1}{2} = 67{,}5
\]

Ответ: \(67{,}5\)

б)

\[
\left(13\frac{1}{4} — 2\frac{5}{27} — 10\frac{5}{6}\right) : 2\frac{1}{12} \cdot \left(3\frac{1}{12} + 2\frac{7}{20} + 4\frac{11}{30}\right)\]

\[: \left(3\frac{7}{24} + 2\frac{3}{20} — 7\frac{3}{40}\right) = -\frac{1}{54}
\]

Обозначим числитель данного числового выражения буквой \(A\), а знаменатель — буквой \(B\):

\[
A = \left(13\frac{1}{4} — 2\frac{5}{27} — 10\frac{5}{6}\right) : 2\frac{1}{12}
\]

\[
B = \left(3\frac{1}{12} + 2\frac{7}{20} + 4\frac{11}{30}\right) : \left(3\frac{7}{24} + 2\frac{3}{20} — 7\frac{3}{40}\right)
\]

В выражении \(A\) обозначим делимое буквой \(C\), а делитель — буквой \(D\).

В выражении \(B\) обозначим делимое буквой \(M\), а делитель — буквой \(N\).

Схематически заданное числовое выражение выглядит так:

\[
\frac{C : D}{M : N}
\]

Тогда план наших действий будет таков:

1) найдем значение \(c\) выражения \(C\);

2) разделив \(c\) на \(d\), найдем значение \(a\) выражения \(A\);

3) найдем значение \(m\) выражения \(M\);

4) найдем значение \(n\) выражения \(N\);

5) разделив \(m\) на \(n\), найдем значение \(b\) выражения \(B\);

6) разделив \(a\) на \(b\), найдем значение заданного числового выражения.

Приступим к реализации этого плана:

1)
\[C = 13\frac{1}{4} — 2\frac{5}{27} — 10\frac{5}{6} = 13\frac{27}{108} — 2\frac{20}{108} — 10\frac{90}{108}\]

\[= 11\frac{7}{108} — 10\frac{90}{108} = 10\frac{115}{108} — 10\frac{90}{108} = \frac{25}{108}\]

2)
\[
A = \frac{25}{108} : 2\frac{1}{12} = \frac{25}{108} : \frac{25}{12} = \frac{25 \cdot 12}{108 \cdot 25} = \frac{1}{9}
\]

3)
\[M = 3\frac{1}{12} + 2\frac{7}{20} + 4\frac{11}{30} = 3\frac{5}{60} + 2\frac{21}{60} + 4\frac{22}{60}\]

\[= 5\frac{26}{60} + 4\frac{22}{60} = 9\frac{48}{60} = 9\frac{8}{10} = 9\frac{4}{5}\]

4)
\[
N = 3\frac{7}{24} + 2\frac{3}{20} — 7\frac{3}{40} = 3\frac{35}{120} + 2\frac{18}{120} — 7\frac{9}{120}\]

\[= 5\frac{53}{120} — 7\frac{9}{120} = -1\frac{76}{120} = -1\frac{19}{30}
\]

5)
\[
B = 9\frac{4}{5} : \left(-1\frac{19}{30}\right) = \frac{49}{5} : \left(-\frac{49}{30}\right) = -\frac{49 \cdot 30}{5 \cdot 49} = -6
\]

6)
\[
\frac{1}{9} : (-6) = \frac{1}{9} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{54}
\]

Ответ: \(-\frac{1}{54}\)

Дано выражение:

\[
\frac{1\frac{5}{37} \cdot \left( \frac{11}{14} + 1\frac{1}{3} + \frac{27}{28} \right) + 1\frac{1}{32} \cdot \left( 1\frac{3}{14} + \frac{2}{11} + \frac{9}{154} \right)}{\frac{19}{84} : \left( 5\frac{13}{42} — 2\frac{13}{28} + \frac{5}{24} \right)} = 67{,}5
\]

Обозначим числитель как \(A\), знаменатель как \(B\). Тогда всё выражение — это \(A : B\).

Шаг 1. Вычислим выражение \(Q = \frac{11}{14} + 1\frac{1}{3} + \frac{27}{28}\)

Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 14 и 28 — это 28.

\[
\frac{11}{14} = \frac{22}{28}, \quad \frac{27}{28} = \frac{27}{28}
\]

Сложим:

\[
\frac{22}{28} + \frac{27}{28} = \frac{49}{28} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}
\]

Теперь прибавим \(1\frac{1}{3}\):

\[
1\frac{3}{4} + 1\frac{1}{3}
\]

Приведём к общему знаменателю 12:

\[
1\frac{3}{4} = 1\frac{9}{12}, \quad 1\frac{1}{3} = 1\frac{4}{12}
\]

\[
1\frac{9}{12} + 1\frac{4}{12} = 2\frac{13}{12} = 3\frac{1}{12}
\]

Итак:
\[
Q = 3\frac{1}{12} = \frac{37}{12}
\]

Шаг 2. Вычислим \(C = 1\frac{5}{37} \cdot Q\)

Переведём \(1\frac{5}{37}\) в неправильную дробь:

\[
1\frac{5}{37} = \frac{42}{37}
\]

Умножим:

\[
C = \frac{42}{37} \cdot \frac{37}{12}
\]

Заметим, что 37 сокращается:

\[
C = \frac{42}{12} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}
\]

Шаг 3. Вычислим \(R = 1\frac{3}{14} + \frac{2}{11} + \frac{9}{154}\)

Заметим, что \(154 = 14 \cdot 11\), поэтому общий знаменатель — 154.

\[
1\frac{3}{14} = \frac{17}{14} = \frac{17 \cdot 11}{154} = \frac{187}{154}
\]

\[
\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 14}{154} = \frac{28}{154}
\]

\[
\frac{9}{154} = \frac{9}{154}
\]

Сложим:

\[
\frac{187 + 28 + 9}{154} = \frac{224}{154}
\]

Упростим: разделим числитель и знаменатель на 14:

\[
\frac{224 \div 14}{154 \div 14} = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11}
\]

Итак:
\[
R = 1\frac{5}{11} = \frac{16}{11}
\]

Шаг 4. Вычислим \(D = 1\frac{1}{32}\)

\[
1\frac{1}{32} = \frac{33}{32}
\]

\[
D = \frac{33}{32} \cdot \frac{16}{11} = \frac{33 \cdot 16}{32 \cdot 11}
\]

Разложим: \(33 = 3 \cdot 11\), \(16 = 16\), \(32 = 2 \cdot 16\)

\[
= \frac{3 \cdot 11 \cdot 16}{2 \cdot 16 \cdot 11} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}
\]

Шаг 5. Найдём числитель \(A = C + D\)

\[
A = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5
\]

Шаг 6. Вычислим делитель в знаменателе: \(N = 5\frac{13}{42} — 2\frac{13}{28} + \frac{5}{24}\)

Найдём общий знаменатель для 42, 28 и 24.
Разложим:
— \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\)
— \(28 = 2^2 \cdot 7\)
— \(24 = 2^3 \cdot 3\)

НОК = \(2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 168\)

Приведём все дроби к знаменателю 168:

\[
5\frac{13}{42} = 5 + \frac{13 \cdot 4}{168} = 5\frac{52}{168}
\]

\[
2\frac{13}{28} = 2 + \frac{13 \cdot 6}{168} = 2\frac{78}{168}
\]

\[
\frac{5}{24} = \frac{5 \cdot 7}{168} = \frac{35}{168}
\]

Выполним вычитание и сложение:

\[
5\frac{52}{168} — 2\frac{78}{168} = (5 — 2) + \frac{52 — 78}{168} = 3 — \frac{26}{168} = 2\frac{142}{168}
\]

Теперь прибавим \(\frac{35}{168}\):

\[
2\frac{142}{168} + \frac{35}{168} = 2\frac{177}{168} = 3\frac{9}{168}
\]

Упростим \(\frac{9}{168} = \frac{3}{56}\), значит:

\[
N = 3\frac{3}{56} = \frac{171}{56}
\]

Шаг 7. Вычислим знаменатель \(B = \frac{19}{84} : N\)

\[
B = \frac{19}{84} \div \frac{171}{56} = \frac{19}{84} \cdot \frac{56}{171}
\]

Разложим:
— \(19\) и \(171 = 9 \cdot 19\) → сокращаем 19
— \(56 = 7 \cdot 8\), \(84 = 7 \cdot 12\) → сокращаем 7

\[
= \frac{1}{12} \cdot \frac{8}{9} = \frac{8}{108} = \frac{2}{27}
\]

Шаг 8. Найдём всё выражение: \(A : B = 5 : \frac{2}{27}\)

\[
5 \div \frac{2}{27} = 5 \cdot \frac{27}{2} = \frac{135}{2} = 67\frac{1}{2} = 67{,}5
\]

Ответ: \(67{,}5\)

Дано выражение:

\[
\frac{\left(13\frac{1}{4} — 2\frac{5}{27} — 10\frac{5}{6}\right) : 2\frac{1}{12}}{\left(3\frac{1}{12} + 2\frac{7}{20} + 4\frac{11}{30}\right) : \left(3\frac{7}{24} + 2\frac{3}{20} — 7\frac{3}{40}\right)} = -\frac{1}{54}
\]

Обозначим числитель как \(A = C : D\), знаменатель как \(B = M : N\).

Шаг 1. Вычислим \(C = 13\frac{1}{4} — 2\frac{5}{27} — 10\frac{5}{6}\)

Общий знаменатель для 4, 27, 6 — это 108.

\[
13\frac{1}{4} = 13\frac{27}{108},
2\frac{5}{27} = 2\frac{20}{108},
10\frac{5}{6} = 10\frac{90}{108}
\]

Выполним по действиям:

\[
13\frac{27}{108} — 2\frac{20}{108} = 11\frac{7}{108}
\]

\[
11\frac{7}{108} — 10\frac{90}{108} = (11 — 10) + \frac{7 — 90}{108} = 1 — \frac{83}{108} = \frac{25}{108}
\]

(Поскольку \(1 = \frac{108}{108}\), то \(\frac{108 — 83}{108} = \frac{25}{108}\))

Итак:
\[
C = \frac{25}{108}
\]

Шаг 2. Вычислим \(A = C : D = \frac{25}{108} : 2\frac{1}{12}\)

\[
2\frac{1}{12} = \frac{25}{12}
\]

\[
A = \frac{25}{108} \div \frac{25}{12} = \frac{25}{108} \cdot \frac{12}{25} = \frac{12}{108} = \frac{1}{9}
\]

Шаг 3. Вычислим \(M = 3\frac{1}{12} + 2\frac{7}{20} + 4\frac{11}{30}\)

НОК(12, 20, 30) = 60

\[
3\frac{1}{12} = 3\frac{5}{60},
2\frac{7}{20} = 2\frac{21}{60},
4\frac{11}{30} = 4\frac{22}{60}
\]

Сложим целые части: \(3 + 2 + 4 = 9\)

Сложим дроби: \(5 + 21 + 22 = 48\) → \(\frac{48}{60} = \frac{4}{5}\)

\[
M = 9\frac{4}{5} = \frac{49}{5}
\]

Шаг 4. Вычислим \(N = 3\frac{7}{24} + 2\frac{3}{20} — 7\frac{3}{40}\)

НОК(24, 20, 40) = 120

\[
3\frac{7}{24} = 3\frac{35}{120},
2\frac{3}{20} = 2\frac{18}{120},
7\frac{3}{40} = 7\frac{9}{120}
\]

Сложим первые два:

\[
3\frac{35}{120} + 2\frac{18}{120} = 5\frac{53}{120}
\]

Вычтем третье:

\[
5\frac{53}{120} — 7\frac{9}{120} = (5 — 7) + \frac{53 — 9}{120} = -2 + \frac{44}{120} = -1 — \frac{76}{120}
\]

(Поскольку \(-2 + \frac{44}{120} = -1 — \frac{76}{120}\))

Упростим \(\frac{76}{120} = \frac{19}{30}\)

\[
N = -1\frac{19}{30} = -\frac{49}{30}
\]

Шаг 5. Вычислим \(B = M : N = \frac{49}{5} : \left(-\frac{49}{30}\right)\)

\[
B = \frac{49}{5} \cdot \left(-\frac{30}{49}\right) = -\frac{30}{5} = -6
\]

Шаг 6. Найдём всё выражение: \(A : B = \frac{1}{9} : (-6)\)

\[
\frac{1}{9} \div (-6) = \frac{1}{9} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{54}
\]

Ответ: \(-\frac{1}{54}\)