ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1.31 Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения равно нулю при любых допустимых значениях переменных:

\[
\text{а)}\quad \frac{2 \cdot (3x + y) — (2x — y) — 3 \cdot (x + y)}{2x — 5y}
\]

\[
\text{б)}\quad \frac{q — 2 \cdot (q + 3p) + 2 \cdot (q + p) — (q + 4p)}{q + 2p}
\]

а) \(\frac{2 \cdot (3x + y) — (2x — y) — 3 \cdot (x + y)}{2x — 5y}\)

Значение дробного выражения равно нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[2 \cdot (3x + y) — (2x — y) — 3 \cdot (x + y)= 6x + 2y — 2x + y — 3x — 3y\]

\[= (6x — 2x — 3x) + (2y + y — 3y) = x + 0 = x.\]

Следовательно, значение этого выражения равно нулю при \(x = 0\) и \(y \ne 0\).

б) \(\frac{q — 2 \cdot (q + 3p) + 2 \cdot (q + p) — (q + 4p)}{q + 2p}\)

Значение дробного выражения равно нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[q — 2 \cdot (q + 3p) + 2 \cdot (q + p) — (q + 4p)= q — 2q — 6p + 2q + 2p — q — 4p\]

\[= (q — 2q + 2q — q) + (-6p + 2p — 4p) = 0 + (-8p) = -8p.\]

Следовательно, значение этого выражения равно нулю при \(p = 0\) и \(q \ne 0\).

Общее правило

Рациональное выражение вида \(\frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}}\) равно нулю тогда и только тогда, когда:

1. Числитель равен нулю
2. Знаменатель не равен нулю (иначе выражение не определено).

Мы будем последовательно применять это правило к каждому пункту.

а)
\[
\frac{2 \cdot (3x + y) — (2x — y) — 3 \cdot (x + y)}{2x — 5y}
\]

Шаг 1. Упростим числитель

Раскроем все скобки, внимательно учитывая знаки:

\[
2 \cdot (3x + y) = 6x + 2y
\]

\[
— (2x — y) = -2x + y \quad \text{(минус перед скобкой меняет знаки)}
\]

\[
-3 \cdot (x + y) = -3x — 3y
\]

Теперь сложим все полученные слагаемые:

\[
6x + 2y — 2x + y — 3x — 3y
\]

Шаг 2. Сгруппируем подобные члены

Сгруппируем члены с \(x\) и с \(y\) отдельно:

— По \(x\): \(6x — 2x — 3x = (6 — 2 — 3)x = 1x = x\)
— По \(y\): \(2y + y — 3y = (2 + 1 — 3)y = 0y = 0\)

Итак, числитель упрощается до:

\[
x
\]

Шаг 3. Запишем упрощённое выражение

\[
\frac{x}{2x — 5y}
\]

Шаг 4. Найдём, при каких значениях выражение равно нулю

Числитель равен нулю, когда:

\[
x = 0
\]

Теперь проверим, при этом значении не обращается ли знаменатель в ноль.

Подставим \(x = 0\) в знаменатель:

\[
2x — 5y = 2 \cdot 0 — 5y = -5y
\]

Знаменатель не равен нулю, если:

\[
-5y \ne 0 \quad \Rightarrow \quad y \ne 0
\]

Шаг 5. Вывод для пункта а)

Выражение равно нулю тогда и только тогда, когда \(x = 0\) и\(y \ne 0\).

Если же \(x = 0\) и \(y = 0\), то знаменатель равен нулю, и выражение не определено.

б)
\[
\frac{q — 2 \cdot (q + 3p) + 2 \cdot (q + p) — (q + 4p)}{q + 2p}
\]

Шаг 1. Упростим числитель

Раскроем скобки поочерёдно:

— \(-2 \cdot (q + 3p) = -2q — 6p\)
— \(+2 \cdot (q + p) = +2q + 2p\)
— \(- (q + 4p) = -q — 4p\)

Теперь запишем весь числитель с раскрытыми скобками:

\[
q — 2q — 6p + 2q + 2p — q — 4p
\]

Шаг 2. Сгруппируем подобные члены

Сгруппируем по переменным \(q\) и \(p\):

— По \(q\): \(q — 2q + 2q — q = (1 — 2 + 2 — 1)q = 0q = 0\)
— По \(p\): \(-6p + 2p — 4p = (-6 + 2 — 4)p = -8p\)

Итак, числитель упрощается до:

\[
-8p
\]

Шаг 3. Запишем упрощённое выражение

\[
\frac{-8p}{q + 2p}
\]

Шаг 4. Найдём, при каких значениях выражение равно нулю

Числитель равен нулю, когда:

\[
-8p = 0 \quad \Rightarrow \quad p = 0
\]

Теперь проверим знаменатель при \(p = 0\):

\[
q + 2p = q + 2 \cdot 0 = q
\]

Знаменатель не равен нулю, если:

\[
q \ne 0
\]

Шаг 5. Вывод для пункта б)

Выражение равно нулю тогда и только тогда, когда \(p = 0\) и\(q \ne 0\).

Если \(p = 0\) и \(q = 0\), то знаменатель равен нулю, и выражение не определено.