Учебное пособие «Алгебра, 7 класс» авторства Мордковича, Мардахаева и Семенова является важным ресурсом для школьников, желающих расширить свои знания в алгебре. Книга выделяется содержательной насыщенностью и продуманной методической организацией, что способствует более легкому и интересному освоению математического материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 11.16 Мордкович — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \( \frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3 \)
б) \( \frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x} = 100 \)
a)
\( \frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3 \)
\( \frac{2^5x^5 \cdot 2^3x^3 \cdot 2}{4^3x^3 \cdot 8x^4} = -3 \)
\( \frac{2^5 \cdot 2^3 \cdot 2 \cdot x^5 \cdot x^3}{4^3 \cdot 8 \cdot x^3 \cdot x^4} = -3 \)
\( \frac{2^9 x^8}{2^6 \cdot 2^3 x^7} = -3 \)
\( \frac{2^9 x^8}{2^9 x^7} = -3 \)
\( x = -3 \)
б)
\( \frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x} = 100 \)
\( \frac{5^7x^7 \cdot 5^4x^4 \cdot 5^2}{(25^4x^8) \cdot 125x} = 100 \)
\( \frac{5^7 \cdot 5^4 \cdot 5^2 \cdot x^7 \cdot x^4}{5^8x^8 \cdot 5^3x} = 100 \)
\( \frac{5^{13}x^{11}}{5^{11}x^9} = 100 \)
\( 5^2x^2 = 100 \)
\( 25x^2 = 100 \)
\( x^2 = 4 \)
\( x = \pm 2 \)
а) Решение уравнения \(\frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3\)
1. Упрощение числителя:
\[
(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2 = 2^5x^5 \cdot 2^3x^3 \cdot 2^1 = 2^{5+3+1} \cdot x^{5+3} = 2^9 \cdot x^8
\]
2. Упрощение знаменателя:
\[
(4x)^3 = 4^3 \cdot x^3 = (2^2)^3 \cdot x^3 = 2^6 \cdot x^3
\]
\[
8x^4 = 2^3 \cdot x^4
\]
\[
\text{Знаменатель целиком: } (2^6 \cdot x^3) \cdot (2^3 \cdot x^4) = 2^{6+3} \cdot x^{3+4} = 2^9 \cdot x^7
\]
3. Составление и упрощение дроби:
\[
\frac{2^9 \cdot x^8}{2^9 \cdot x^7} = -3
\]
Сокращаем на \(2^9\):
\[
\frac{x^8}{x^7} = -3
\]
\[
x^{8-7} = -3
\]
\[
x^1 = -3
\]
4. Проверка ОДЗ:
Знаменатель исходного уравнения: \((4x)^3 \cdot 8x^4\).
При \(x = -3\) знаменатель не равен нулю (\((-12)^3 \cdot 8 \cdot 81 \ne 0\)). Решение допустимо.
Ответ для а): \(x = -3\)
б) Решение уравнения \(\frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x} = 100\)
1. Упрощение числителя:
\[
(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25 = 5^7x^7 \cdot 5^4x^4 \cdot 5^2 = 5^{7+4+2} \cdot x^{7+4} = 5^{13} \cdot x^{11}
\]
2. Упрощение знаменателя:
\[
(25x^2)^4 = 25^4 \cdot (x^2)^4 = (5^2)^4 \cdot x^8 = 5^8 \cdot x^8
\]
\[
125x = 5^3 \cdot x
\]
\[
\text{Знаменатель целиком: } (5^8 \cdot x^8) \cdot (5^3 \cdot x) = 5^{8+3} \cdot x^{8+1} = 5^{11} \cdot x^9
\]
3. Составление и упрощение дроби:
\[
\frac{5^{13} \cdot x^{11}}{5^{11} \cdot x^9} = 100
\]
\[
5^{13-11} \cdot x^{11-9} = 100
\]
\[
5^2 \cdot x^2 = 100
\]
\[
25x^2 = 100
\]
4. Решение полученного уравнения:
\[
x^2 = \frac{100}{25}
\]
\[
x^2 = 4
\]
\[
x = \pm 2
\]
5. Проверка ОДЗ:
Знаменатель исходного уравнения: \((25x^2)^4 \cdot 125x\).
При \(x = \pm 2\) знаменатель не равен нулю. Решения допустимы.
Ответ для б): \(x = 2\), \(x = -2\)
Итоговый ответ:
а)
б)
