ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 11.7 Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях а, b, с прямая ах + by = с: а) параллельна оси ординат; б) параллельна оси абсцисс; в) проходит через начало координат; г) совпадает с той или иной осью координат?

а) \( a \neq 0 \), \( b = 0 \)

б) \( a = 0 \), \( b \neq 0 \)

в) \( c = 0 \)

г) \( a = 0 \), \( c = 0 \) или \( b = 0 \), \( c = 0 \)

а) \( a \neq 0 \), \( b = 0 \)
Это означает, что в линейном уравнении \( ax + by = c \) коэффициент при \( x \) отличен от нуля, а коэффициент при \( y \) равен нулю.
Тогда уравнение принимает вид:
\( ax + 0 \cdot y = c \)
\( ax = c \)
Это уравнение не содержит переменной \( y \), поэтому оно описывает вертикальную прямую, параллельную оси \( Oy \), при любом \( c \).
Пример: \( 3x = 6 \) → \( x = 2 \) — прямая, проходящая через все точки с абсциссой \( x = 2 \), независимо от \( y \).

б) \( a = 0 \), \( b \neq 0 \)
Это означает, что коэффициент при \( x \) равен нулю, а коэффициент при \( y \) отличен от нуля.
Тогда уравнение принимает вид:
\( 0 \cdot x + by = c \)
\( by = c \)
Это уравнение не содержит переменной \( x \), поэтому оно описывает горизонтальную прямую, параллельную оси \( Ox \), при любом \( c \).
Пример: \( 5y = 10 \) → \( y = 2 \) — прямая, проходящая через все точки с ординатой \( y = 2 \), независимо от \( x \).

в) \( c = 0 \)
Это означает, что свободный член уравнения \( ax + by = c \) равен нулю.
Тогда уравнение принимает вид:
\( ax + by = 0 \)
Такое уравнение всегда проходит через начало координат \( (0; 0) \), поскольку при \( x = 0 \), \( y = 0 \) равенство выполняется:
\( a \cdot 0 + b \cdot 0 = 0 \)
Пример: \( 2x — 3y = 0 \) — прямая, проходящая через точку \( (0; 0) \).

г) \( a = 0 \), \( c = 0 \) или \( b = 0 \), \( c = 0 \)
Рассмотрим два случая.

Случай 1: \( a = 0 \), \( c = 0 \)
Уравнение: \( 0 \cdot x + by = 0 \) → \( by = 0 \)
Так как \( b \neq 0 \) (иначе уравнение теряет смысл), то:
\( y = 0 \)
Это уравнение оси \( Ox \) — все точки, лежащие на оси абсцисс.

Случай 2: \( b = 0 \), \( c = 0 \)
Уравнение: \( ax + 0 \cdot y = 0 \) → \( ax = 0 \)
Так как \( a \neq 0 \), то:
\( x = 0 \)
Это уравнение оси \( Oy \) — все точки, лежащие на оси ординат.

Таким образом, условие \( a = 0 \), \( c = 0 \) или \( b = 0 \), \( c = 0 \) означает, что прямая совпадает с одной из координатных осей:
— либо с осью \( Ox \) (если \( y = 0 \)),
— либо с осью \( Oy \) (если \( x = 0 \)).

Оба случая включают в себя уравнения, задающие координатные оси.