ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.17 Мордкович — Подробные Ответы

Одно число в 8 раз больше другого, а их разность равна 84. Найдите эти числа.

\( x — \)
первое число
\( 8x — \)
второе число

\( 8x — x = 84 \)

\( 7x = 84 \)

\( x = \frac{84}{7} \)

\( x = 12 \)

\( 8 \cdot 12 = 96 \)

\( 12 \) и \( 96 \)

Шаг 1. Анализ условия и введение переменных

В задаче говорится о двух числах, связанных двумя условиями:
1. Одно число больше другого в 8 раз
2. Разность между ними равна 84

Обозначим:
— \( x \) — меньшее число
— \( y \) — большее число

Шаг 2. Составление математической модели

Переведем условия задачи на математический язык:

1. «Одно число в 8 раз больше другого»:
\[
y = 8x
\]

Это означает, что если меньшее число умножить на 8, получим большее число.

2. «Их разность равна 84»:
\[
y — x = 84
\]

Разность большего и меньшего числа составляет 84.

Шаг 3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений:
\[
\begin{cases}
y = 8x \\
y — x = 84
\end{cases}
\]

Используем метод подстановки. Подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе:
\[
8x — x = 84
\]

Упростим левую часть:
\[
7x = 84
\]

Разделим обе части уравнения на 7:
\[
x = \frac{84}{7} = 12
\]

Теперь найдем \( y \), используя первое уравнение:
\[
y = 8x = 8 \cdot 12 = 96
\]

Шаг 4. Проверка решения

Проверим, удовлетворяют ли найденные числа условиям задачи:

1. Проверяем отношение чисел:
\[
\frac{y}{x} = \frac{96}{12} = 8
\]

Действительно, одно число в 8 раз больше другого

2. Проверяем разность чисел:
\[
y — x = 96 — 12 = 84
\]

Разность равна 84

Оба условия выполняются, значит, решение верное.

Шаг 5. Анализ решения

Мы нашли, что числа равны 12 и 96. Можно представить эту задачу графически: если меньшее число составляет 1 часть, то большее число составляет 8 таких же частей, а разность между ними — 7 частей. По условию эти 7 частей равны 84, значит одна часть равна \( 84 \div 7 = 12 \), что соответствует нашему решению.

Ответ: 12 и 96