ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.1 Мордкович — Подробные Ответы

Не выполняя построения, охарактеризуйте взаимное расположение прямых:

а) \( y = -x + 1 \) и \( y = -x — 1 \)

б) \( y = 2x + 5 \) и \( y = -2x \)

в) \( y = \frac{3}{10}x + \frac{2}{5} \) и \( y = \frac{3}{10}x + \frac{2}{5} \)

г) \( y = 3x — 1 \) и \( y = x + 2 \)

д) \( y = \frac{1}{2}x \) и \( y = \frac{1}{2}x + 3 \)

е) \( y = -\frac{4}{5}x + \frac{6}{5} \) и \( y = -\frac{4}{5}x + \frac{6}{5} \)

а) Прямые \( y = -x + 1 \) и \( y = -x — 1 \) параллельны,
потому что \( k_1 = k_2 = -1 \), а \( m_1 \neq m_2 \).

б) Прямые \( y = 2x + 5 \) и \( y = -2x \) пересекаются,
потому что \( k_1 \neq k_2 \).

в) Прямые \( y = 0{,}3x + \frac{2}{5} \) и \( y = \frac{3}{10}x + 0{,}4 \) совпадают,
потому что \( k_1 = k_2 = 0{,}3 = \frac{3}{10} \), а \( m_1 = m_2 = 0{,}4 = \frac{2}{5} \).

г) Прямые \( y = 3x — 1 \) и \( y = x + 2 \) пересекаются,
потому что \( k_1 \neq k_2 \).

д) Прямые \( y = 0{,}5x \) и \( y = \frac{1}{2}x + 3 \) параллельны,
потому что \( k_1 = k_2 = 0{,}5 \), а \( m_1 \neq m_2 \).

е) Прямые \( y = \frac{6}{5} — \frac{4}{5}x \) и \( y = -0{,}8x + 1{,}2 \) совпадают,
потому что \( k_1 = k_2 = -\frac{4}{5} = -0{,}8 \), а \( m_1 = m_2 = \frac{6}{5} = 1{,}2 \).

Общий принцип анализа:
Для двух линейных функций вида \( y = kx + m \) взаимное расположение их графиков определяется коэффициентами \( k \) (угловой коэффициент) и \( m \) (свободный член):
— Если \( k_1 = k_2 \) и \( m_1 = m_2 \) — прямые совпадают
— Если \( k_1 = k_2 \) и \( m_1 ≠ m_2 \) — прямые параллельны
— Если \( k_1 ≠ k_2 \) — прямые пересекаются

а) Прямые \( y = -x + 1 \) и \( y = -x — 1 \)

— Угловые коэффициенты: \( k_1 = -1 \), \( k_2 = -1 \) → \( k_1 = k_2 \)
— Свободные члены: \( m_1 = 1 \), \( m_2 = -1 \) → \( m_1 ≠ m_2 \)

Вывод: прямые параллельны, так как имеют одинаковые угловые коэффициенты, но различные свободные члены.

б) Прямые \( y = 2x + 5 \) и \( y = -2x \)

— Угловые коэффициенты: \( k_1 = 2 \), \( k_2 = -2 \) → \( k_1 ≠ k_2 \)

Вывод: прямые пересекаются, так как угловые коэффициенты различны.

в) Прямые \( y = 0,3x + \frac{2}{5} \) и \( y = \frac{3}{10}x + 0,4 \)

— Преобразуем коэффициенты к общему виду:
\( 0,3 = \frac{3}{10} \), \( \frac{2}{5} = 0,4 \)
— Угловые коэффициенты: \( k_1 = \frac{3}{10} \), \( k_2 = \frac{3}{10} \) → \( k_1 = k_2 \)
— Свободные члены: \( m_1 = 0,4 \), \( m_2 = 0,4 \) → \( m_1 = m_2 \)

Вывод: прямые совпадают, так как все коэффициенты одинаковы.

г) Прямые \( y = 3x — 1 \) и \( y = x + 2 \)

— Угловые коэффициенты: \( k_1 = 3 \), \( k_2 = 1 \) → \( k_1 ≠ k_2 \)

Вывод: прямые пересекаются, так как угловые коэффициенты различны.

д) Прямые \( y = 0,5x \) и \( y = \frac{1}{2}x + 3 \)

— Преобразуем коэффициенты: \( 0,5 = \frac{1}{2} \)
— Угловые коэффициенты: \( k_1 = \frac{1}{2} \), \( k_2 = \frac{1}{2} \) → \( k_1 = k_2 \)
— Свободные члены: \( m_1 = 0 \), \( m_2 = 3 \) → \( m_1 ≠ m_2 \)

Вывод: прямые параллельны, так как угловые коэффициенты одинаковы, но свободные члены различны.

е) Прямые \( y = \frac{6}{5} — \frac{4}{5}x \) и \( y = -0,8x + 1,2 \)

— Преобразуем уравнения к стандартному виду:
\( y = -\frac{4}{5}x + \frac{6}{5} \) и \( y = -0,8x + 1,2 \)
— Преобразуем коэффициенты: \( -\frac{4}{5} = -0,8 \), \( \frac{6}{5} = 1,2 \)
— Угловые коэффициенты: \( k_1 = -0,8 \), \( k_2 = -0,8 \) → \( k_1 = k_2 \)
— Свободные члены: \( m_1 = 1,2 \), \( m_2 = 1,2 \) → \( m_1 = m_2 \)

Вывод: прямые совпадают, так как все коэффициенты одинаковы.

Геометрическая интерпретация:
— Совпадающие прямые — это одна и та же линия на координатной плоскости
— Параллельные прямые — линии, идущие в одном направлении, но не имеющие общих точек
— Пересекающиеся прямые — линии, имеющие одну общую точку (точку пересечения)