ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.4 Мордкович — Подробные Ответы

Какое число надо поставить вместо символа *, чтобы графики заданных линейных функций совпадали: а) у = 2,4x + 0,2 и у = 2,4x + *; б) у = -0,5x + 1 и у = 0,5x + *; в) у = *х — \(\frac{4}{12}\) и у = — \(\frac{3}{7}\) x — \(\frac{1}{3}\); г) y = \(\frac{5}{2}\) x + 1,2 и y = 2,5x — *? В каких случаях задание некорректно?

Прямые совпадают, если \( k_1 = k_2 \) и \( m_1 = m_2 \).

а) Прямые \( y = 2{,}4x + 0{,}2 \) и \( y = 2{,}4x + * \) совпадают при \( * = 0{,}2 \).

б) Прямые \( y = -0{,}5x + 1 \) и \( y = 0{,}5x + * \) не совпадают ни при каком значении \( * \), потому что \( k_1 \neq k_2 \).

в) Прямые \( y = *x — \frac{4}{12} \) и \( y = -\frac{3}{7}x — \frac{1}{3} \) совпадают при \( * = -\frac{3}{7} \),
потому что \( m_1 = m_2 = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3} \).

г) Прямые \( y = \frac{5}{2}x + 1{,}2 \) и \( y = 2{,}5x — * \) совпадают при \( * = -1{,}2 \),
потому что \( k_1 = k_2 = \frac{5}{2} = 2{,}5 \).

Прямые, заданные уравнениями вида \( y = kx + m \), совпадают, если и только если их угловые коэффициенты равны (\( k_1 = k_2 \)) и свободные члены также равны (\( m_1 = m_2 \)).
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, прямые либо пересекаются, либо параллельны, но не совпадают.

Рассмотрим каждый случай.

а) Прямые \( y = 2{,}4x + 0{,}2 \) и \( y = 2{,}4x + * \)

Угловые коэффициенты:
\( k_1 = 2{,}4 \), \( k_2 = 2{,}4 \) → \( k_1 = k_2 \)

Свободные члены:
\( m_1 = 0{,}2 \), \( m_2 = * \)

Для совпадения необходимо: \( m_1 = m_2 \Rightarrow * = 0{,}2 \)

При этом условии оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Ответ: прямые совпадают при \( * = 0{,}2 \)

б) Прямые \( y = -0{,}5x + 1 \) и \( y = 0{,}5x + * \)

Угловые коэффициенты:
\( k_1 = -0{,}5 \), \( k_2 = 0{,}5 \)

Поскольку \( k_1 \neq k_2 \), наклоны прямых различны, и они обязательно пересекаются в некоторой точке.
Совпадение невозможно при любом значении \( * \), так как графики направлены в разные стороны.

Ответ: прямые не совпадают ни при каком значении \( * \)

в) Прямые \( y = *x — \frac{4}{12} \) и \( y = -\frac{3}{7}x — \frac{1}{3} \)

Сначала упростим дробь:
\( \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \), следовательно, первая прямая:
\( y = *x — \frac{1}{3} \)

Вторая прямая: \( y = -\frac{3}{7}x — \frac{1}{3} \)

Сравним свободные члены:
\( m_1 = -\frac{1}{3} \), \( m_2 = -\frac{1}{3} \) → \( m_1 = m_2 \)

Теперь сравним угловые коэффициенты:
\( k_1 = * \), \( k_2 = -\frac{3}{7} \)

Для совпадения необходимо: \( k_1 = k_2 \Rightarrow * = -\frac{3}{7} \)

При этом значении оба уравнения станут одинаковыми.

Ответ: прямые совпадают при \( * = -\frac{3}{7} \)

г) Прямые \( y = \frac{5}{2}x + 1{,}2 \) и \( y = 2{,}5x — * \)

Переведём коэффициенты в одинаковую форму:
\( \frac{5}{2} = 2{,}5 \), следовательно, угловые коэффициенты равны:
\( k_1 = k_2 = 2{,}5 \)

Теперь сравним свободные члены:
Первая прямая: \( m_1 = 1{,}2 \)
Вторая прямая: \( m_2 = -* \)

Для совпадения необходимо:
\( m_1 = m_2 \Rightarrow 1{,}2 = -* \)

Отсюда:
\( * = -1{,}2 \)

При этом значении второе уравнение примет вид:
\( y = 2{,}5x — (-1{,}2) = 2{,}5x + 1{,}2 \), что совпадает с первым.

Ответ: прямые совпадают при \( * = -1{,}2 \)

Вывод:
Совпадение прямых требует полного совпадения как углового коэффициента, так и свободного члена.
Во всех пунктах это условие проверено пошагово.