ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.5 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите координаты точки пересечения прямых там, где это возможно: а) у = 2x — 1 и у = x + 3; б) у = 5x — 4 и у = 3x + 2; в) у = 3,5 — 2x и y = —2x; г) у = 48x и у = —48x; д) y = x + 10 и у = -3x + 10; е) у = —4,5x + 0,9 и у = — \(\frac{9}{2}\) x + \(\frac{9}{10}\).

а) Прямые \( y = 2x — 1 \) и \( y = x + 3 \) пересекаются, потому что \( k_1 \neq k_2 \).
Если графики пересекаются, то найдется такое значение \( x \), которому соответствует одно и то же значение \( y \):

\[
2x — 1 = x + 3
\]

\[
2x — x = 3 + 1
\]

\( x = 4 \).

Тогда:

\[
y = x + 3 = 4 + 3 = 7.
\]

Таким образом, точка (4; 7) – точка пересечения прямых.
Ответ: (4; 7).

б) Прямые \( y = 5x — 4 \) и \( y = 3x + 2 \) пересекаются, потому что \( k_1 \neq k_2 \).
Если графики пересекаются, то найдется такое значение \( x \), которому соответствует одно и то же значение \( y \):

\[
5x — 4 = 3x + 2
\]

\[
5x — 3x = 2 + 4
\]

\[
2x = 6
\]

\( x = 3 \).

Тогда:

\[
y = 3x + 2 = 3 \cdot 3 + 2 = 11.
\]
Таким образом, точка (3; 11) – точка пересечения прямых.
Ответ: (3; 11).

в) Прямые \( y = 3,5 — 2x \) и \( y = -2x \) параллельны, потому что \( k_1 = k_2 = -2 \).
Таким образом, данные прямые не пересекаются.
Ответ: не пересекаются.

г) Прямые \( y = 48x \) и \( y = -48x \) пересекаются, потому что \( k_1 \neq k_2 \).
Если графики пересекаются, то найдется такое значение \( x \), которому соответствует одно и то же значение \( y \):

\[
48x = -48x
\]

\[
48x + 48x = 0
\]

\[
96x = 0
\]

\( x = 0 \).

Тогда:

\( y = 48x = 48 \cdot 0 = 0 \).
Таким образом, точка \((0; 0)\) – точка пересечения прямых.
Ответ: \((0; 0)\).

д) Прямые \( y = x + 10 \) и \( y = -3x + 10 \) пересекаются, потому что \( k_1 \neq k_2 \).
Если графики пересекаются, то найдется такое значение \( x \), которому соответствует одно и то же значение \( y \):

\[
x + 10 = -3x + 10
\]

\[
x + 3x = 10 — 10
\]

\[
4x = 0
\]

\( x = 0 \).

Тогда:
\( y = x + 10 = 0 + 10 = 10 \).
Таким образом, точка \((0; 10)\) – точка пересечения прямых.
Ответ: \((0; 10)\).

е) Прямые \( y = -4,5x + 0,9 \) и \( y = -\frac{9}{2}x + \frac{9}{10} \) совпадают, потому что

\[
k_1 = k_2 = -4,5 = -\frac{9}{2}
\]
и

\[
m_1 = m_2 = 0,9 = \frac{9}{10}
\]

Таким образом, данные прямые не пересекаются.
Ответ: не пересекаются.

Общий алгоритм решения:
1. Проверить угловые коэффициенты \( k_1 \) и \( k_2 \):
— Если \( k_1 = k_2 \) и \( m_1 = m_2 \) — прямые совпадают
— Если \( k_1 = k_2 \) и \( m_1 \neq m_2 \) — прямые параллельны
— Если \( k_1 \neq k_2 \) — прямые пересекаются
2. Для пересекающихся прямых составить уравнение \( k_1x + m_1 = k_2x + m_2 \)
3. Решить уравнение относительно \( x \)
4. Подставить найденное значение \( x \) в любую из функций для нахождения \( y \)
5. Записать координаты точки пересечения

а) Прямые \( y = 2x — 1 \) и \( y = x + 3 \)

Анализ: \( k_1 = 2 \), \( k_2 = 1 \) → \( k_1 \neq k_2 \) — прямые пересекаются

Решение:
\[
2x — 1 = x + 3
\]

\[
2x — x = 3 + 1
\]

\[
x = 4
\]

\[
y = 4 + 3 = 7
\]

Ответ: (4; 7)

б) Прямые \( y = 5x — 4 \) и \( y = 3x + 2 \)

Анализ: \( k_1 = 5 \), \( k_2 = 3 \) → \( k_1 \neq k_2 \) — прямые пересекаются

Решение:
\[
5x — 4 = 3x + 2
\]

\[
5x — 3x = 2 + 4
\]

\[
2x = 6
\]

\[
x = 3
\]

\[
y = 3 \cdot 3 + 2 = 11
\]

Ответ: (3; 11)

в) Прямые \( y = 3,5 — 2x \) и \( y = -2x \)

Анализ: \( k_1 = -2 \), \( k_2 = -2 \) → \( k_1 = k_2 \), \( m_1 = 3,5 \), \( m_2 = 0 \) → \( m_1 \neq m_2 \) — прямые параллельны

Ответ: не пересекаются

г) Прямые \( y = 48x \) и \( y = -48x \)

Анализ: \( k_1 = 48 \), \( k_2 = -48 \) → \( k_1 \neq k_2 \) — прямые пересекаются

Решение:
\[
48x = -48x
\]

\[
48x + 48x = 0
\]

\[
96x = 0
\]

\[
x = 0
\]

\[
y = 48 \cdot 0 = 0
\]

Ответ: (0; 0)

д) Прямые \( y = x + 10 \) и \( y = -3x + 10 \)

Анализ: \( k_1 = 1 \), \( k_2 = -3 \) → \( k_1 \neq k_2 \) — прямые пересекаются

Решение:
\[
x + 10 = -3x + 10
\]

\[
x + 3x = 10 — 10
\]

\[
4x = 0
\]

\[
x = 0
\]

\[
y = 0 + 10 = 10
\]

Ответ: (0; 10)

е) Прямые \( y = -4,5x + 0,9 \) и \( y = -\frac{9}{2}x + \frac{9}{10} \)

Анализ:
— \( k_1 = -4,5 = -\frac{9}{2} \), \( k_2 = -\frac{9}{2} \) → \( k_1 = k_2 \)
— \( m_1 = 0,9 = \frac{9}{10} \), \( m_2 = \frac{9}{10} \) → \( m_1 = m_2 \)
— прямые совпадают

Ответ: не пересекаются (совпадают)

Геометрическая интерпретация результатов:
— В случаях (а), (б), (г), (д) графики пересекаются в одной точке
— В случае (в) графики параллельны и не имеют общих точек
— В случае (е) графики полностью совпадают — это одна и та же прямая

Все решения подтверждены проверкой соответствия координат точек уравнениям прямых.